La cuadratura de la lúnula

Encontré en "El libro de las MΛtΣmΛticΛs"  (Clifford A. Pickover), página 48, esta interesante página sobre el trabajo del matemático griego Hipócrates de Quíos (470 - 400 a.e.c.), para hayar el área de un cuadrado, equivalente al de una lúnula dada.

Una lúnula es una superficie plana en forma de luna creciente, limitada por dos arcos de circunferencia cóncavos. En el ejemplo, el área de las dos lúnulas amarillas, asociadas a los lados de un triángulo rectángulo inscrito en un círculo, es equivalente al área del triángulo rojo.

En la época de Hipócrates, creo que la demostración se hacia con regla y compás, auque seguro que se conocía el teorema de Pitágoras, pero el uso del álgebra, como lo voy a hacer aquí, quizás no era tan generalizado.

Le propongo este ejercicio como práctica matemática para usted. Supongo que estudiantes de XI año, pueden resolverlo. Le daré unas ideas.

• La hipotenusa c del triángulo rojo es un diámetro, por eso el triángulo es rectángulo.
• El área del triángulo rectánglo rojo es (a x b)/2.
• El área del círculo azul de diámetro c es: p(c/2)²

• La suma de las área de las dos lúnulas amarillas es igual al área de los dos semicírculos de diámetro a y b, respectivamente, menos el área de un semicírculo azul de diámetro c, al que se le ha quitado el área del triángulo rectángulo rojo.
• Necesita además el teorema de Pitágoras; a² + b² = c²     
• El área de las dos lúnulas es: 
  
• Si el triángulo rectángulo es "isósceles", el área de una lúnula es:  a²/4.
  
  

  Pero si el  triángulo inscrito es equilátero de lado D, el procedimiento es ligeramente diferente.              👉

  El área de la lúnula amarilla es: Solo despeje R, sustituya en la fórmula del área y encuentre el valor. (¡mi resultado, por favor revise!)

•                                 
• El procediento para un hexágono regular inscrito es casi el mismo. 
• Diviértase encontrando en área de una lúnula para un cuadrado inscrito y para otras figuras inscritas; rectángulo, pentágono regular.
  Complete usted el dibujo de las lúnulas.
  

  Dibuje las dos curvas de una lúnula.

• 
  

Referencias adicionales:

• https://www.youtube.com/watch?v=5Zst_hhWfP0.
• https://en.wikipedia.org/wiki/Lune_(geometry)

• https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3crates     (el médico).

2022 es un año “pitagórico”

😂...es solo una anécdota....😅

El día primero de enero de 2022, recibí esta imagen-saludo, cortesía de mi colega Pablo Hernández, con quien impartí, en el 2021, el curso del Piam-UCR; “Física sin matemática” (se volverá a impartir -presencial- este año).

Me agradó la imagen y la guardé. Normalmente no guardo “reenviados”, espero no ofender a mis amigos (… nada personal…)

Hoy la vi de nuevo y me di cuenta del mensaje (…💣me cayó la moneda💥…). Gracias.
En efecto; 2022 es la hipotenusa perfecta para una terna pitagórica, de catetos; dos años del siglo XX: 1050 y 1728.

O si lo prefiere:

¿No saben el cuento-chiste del señor Pitágoras y su compañera “Nusa”?
Me lo contó hace 10 años P.Z.A, si me animo, algún día se los contaré.

 Los ángulos agudos de este triángulo “pitagórico” son:

Algo similares a los del triángulo 3-4-5.

Referencias adicionales:

• Online calculator
• ¿Cansado del viejo y conocido triángulo 3-4-5?https://matecr.blogspot.com/2017/10/cansado-del-viejo-y-conocido-triangulo.html

¿El hexágono del invierno es un pentágono? (revise señor editor)

NIGHT SKY SIGHTS 

WATCH THE MOON JOURNEY ACROSS THE WINTER HEXAGON

https://skyandtelescope.org/astronomy-news/watch-moon-winter-hexagon/

The Moon crosses the Winter Hexagon over a period of four nights — check back about once a month to watch the season progress. (Note that due to projection effects, the constellations toward the top appear a bit squished compared to how you'd see them on the sky.)
Sky & Telescope

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Sin embargo, la información astronómica es interesante.

Ahora, si quiere tomar fotos de la Luna llena cerca del horizonte, ¡con paisaje local!, luego de que la Luna salga del hexágono del invierno, aproveche estas fechas:

• El 27 el orto es a las 16:51 Este-Noreste.
  De día es un poco más fácil la fotografía, porque las cámaras trabajan mejor con poco contraste.  
• El 28 a las 17:48.
• El 29 a las 18:45.

Como el orto es calculado con un horizonte promedio, para que se brinque una montaña como el Irazú debe esperar unos 25 minutos.
El ocaso por la mañana es también apropiado:

• El 27 a las 05:00.Oeste-Noroeste, aproximadamente.
• El 28 a las 05:50.
• El 29 a las 06:57.

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¡¡ Ya sabíamos geometría desde
"Los elementos" de Euclides (300 a.C.) !!

https://es.wikipedia.org/wiki/Elementos_de_Euclides

¡Pero bueno solo no cometen errores los que nunca hacen nada!

Esto sí es el hexágono del invierno.

https://en.wikipedia.org/wiki/Winter_Hexagon

Otros asterismos interesantes:

• https://fisica1011tutor.blogspot.com/2014/03/asterismos-simple-vista-en-orion.html
• https://fisica1011tutor.blogspot.com/2013/12/el-diamante-del-fin-de-ano.html
• https://cienteccrastro.blogspot.com/2010/02/asterismos-i.html

Luna-Marte-Antares, la foto astronómica del lunes

Como este es un blog de matemática, le pido a los astrónomos que me aguanten un poquito.

Las estrellas, por su distancia, las vemos como puntos (¡sin extensión!), no como los planetas a los cuales se les aprecia un disco (¡dos dimensiones!), esto por estar muy cerca, aunque sean mucho menores que las estrellas. 

•  Por un punto se puede trazar infinito número de rectas.

Lo de punto no se aplica, desde luego al Sol y a la ahora más famosa Betelgeuse (https://fisica1011tutor.blogspot.com/2019/12/la-estrella-betelgeuse-disminuye-su.html), dos ejemplos en los cuales distancia y tamaño se conjugan  para que podamos tomar fotos en las cuales apreciamos el diámetro estelar.

Entre Betelgeuse y Rigel solo se puede trazar una recta, pero también ellas pueden unir dos puntos en una curva (la cuerda de un círculo), o de una superficie (como más o menos va el concepto teórico de esfera celeste).

Me hace gracia el principiante que observa el cielo, cuando trato de que ubique dos estrellas y me dice: “¡Ah si esas dos que están en línea recta!”. Pero lo respeto y pienso que en algún momento se dará cuenta. Todos pasamos por esa etapa, lo importante en la vida es el crecimiento.

• Según Euclides, entre dos puntos solo se puede trazar una recta y es la menor distancia entre ellas.

Pero tenga presente que para viajar de San José a París no se puede ir en línea recta (¡geodésicas!)

La Luna (https://astronomia10norte.blogspot.com/2020/01/hoy-es-la-luna-llena-del-lobo.html), 
Marte (https://astrovilla2000.blogspot.com/2019/12/el-laberinto-de-la-noche.html) y 
Antares (https://www.star-facts.com/antares/), 
las veremos el lunes en la madrugada formando un triángulo (¿plano?)
Pues sí a esa pequeña escala, a pesar de que sabemos que no están a distancias similares. En la noche no es simple apreciar la profundidad.

• Tres puntos determinan un único plano.

Por eso los trípodes de nuestros telescopios siempre se ajustan a cualquier terreno. Pero Tenga cuidado, aquí además interviene la física (es decir a gravedad) y nuestro trípode puede quedar desbalanceado. El telescopio se caerá si no tenemos cuidado, por eso los trípodes tienen patas ajustables (telescópicas).

¿Sabe cómo está construido un esferómetro, para medir la curvatura de las lentes y espejos de nuestros telescopios? Pues con buena matemática, ingeniería y mecánica de precisión (https://fisica1011tutor.blogspot.com/2014/05/esferometro-para-medir-las-esferas-de.html).

Identificar una superficie plana, especialmente cuando es enorme, es un trabajo bastante difícil, si no usamos todos nuestros sentidos "bien despiertos" y toda la ayuda tecnológica posible. Por eso algunos -homo sapiens-, que ignoran esto, aceptan que la Tierra es plana.
Bueno, también podría tratarse de una especie de religión, que respeto, pero no acepto que llegue a la escuela; la realidad de de la naturaleza, que la ciencia ha descubierto durante años, es inclaudicable.

El planetario Cartes du Ciel (https://sourceforge.net/projects/skychart/) puede darle la distancia angular, entre la Luna y Marte, o con Antares, a como vemos ese triángulo desde la Tierra. Encuentre ese valor, será interesante y aprenderá mucho.

Pero en la profundidad del espacio, el triángulo realmente existe.
Esos tres objetos celestes están en cada uno de los vértices de un “tetraedro irregularísimo”. ¿Y en el cuarto vértice qué hay? 
Pues usted en la Tierra.

La distancia Tierra-Luna es 0,00252 UA.
La distancia Tierra-Marte es 2,093 UA

La distancia Tierra-Antares es 554 años luz (desprecie la distancia Tierra Sol).

Vamos a suponer que los ángulos de los vértices terrestre de ese tetraedro son iguales; 30° (simplemente para hacer algo, -si nunca hacemos nada, pues desde luego nunca nos equivocaremos-).


Para encontrar las distancias reales entres los tres objetos celestes, tiene dos lados y el ángulo comprendido. Así que para resolver esos triángulos puede usar el teorema del coseno. En 1960, cuando estaba en el Colegio de Naranjo, me lo enseñaron y hasta salió un problema en el examen de Bachillerato (¡no eran de escogencia múltiple!). 
Entonces, con 56 años de progreso, supongo que hoy es “pan comido” en sexto grado. Bueno, a menos que ahora no tenga importancia, porque parece que en educación la tendencia actual es dar todo casi regalado.

Si intenta resolverlo, tenga cuidado, las unidades de medición deben ser las mismas (https://fisica1011tutor.blogspot.com/2018/09/fisica-examen-de-bachillerato-guia-de.html).
Por una confusión entre millas y kilómetros, en 1999 la sonda espacial "Mars Climate Orbiter" se estrelló contra la superficie de Marte.

Ahora sí, la foto del lunes. 
Será hacia el Sureste, como a las 4 de la mañana, para no tener que madrugar mucho. 

Pero mejor vea la imagen de Stellarium (https://stellarium.org/), que vale más que mil palabras.

Es interesante que Antares (m = 1,05), le gana en brillo a Marte (m= 1,45), por el gran tamaño y luminosidad de la estrella, a pesar de estar muchísimo más distante.

• Y ahora la última de matemática. ¿Cuántas veces es más brillante Antares que Marte?
  [(1,45 -1,05) x … etc.)]. (https://matecr.blogspot.com/2016/07/cuanto-sabe-usted-sobre-matematica-i.html).

Buena suerte y que tenga cielo despejado.

Envíeme sus fotos (y comentarios) para ilustrar este artículo 📷.

Taller: Tzolkin/Haab * Calendarios Maya * en el Museo de Jade *

por Marie Lissette Alvarado y José Alberto Villalobos

El taller solo toma en cuenta aspectos matemáticos y astronómicos básicos. No se referirá a detalles antropológicos ni arqueológicos.

El Museo de Jade proporcionará algunos materiales; se recomienda traer libreta de apuntes, bolígrafo, lápices o pilot de colores.

     Tzolkin, el Calendario Sagrado Maya

• Martes 15 de enero.  9 :30 a 12 :30
• Se presentará el sistema de numeración base 20 usado por los mayas, la manera de representarlos y su equivalencia en el sistema decimal (base 10). 
• Se estudia la distribución de los 270 días del Calendario Sagrado, el Tzolkin, su secuencia y representación gráfica (glifos de los días).
• Luego se diseña un “glifo” con la fecha de nacimiento de cada participante.

         Haab, el Calendario Solar Maya

• Jueves 17 de enero. 9:30 a 12:30
• Se repasa el sistema de numeración maya. 
• Se estudia la distribución de los 365 días del Calendario Solar Maya, el Haab, su secuencia y representación gráfica (glifos de los meses).
• Luego se diseña un “glifo” con la fecha de nacimiento de cada participante. 
• Finalmente se hace una correlación con los tres calendarios: Tzolkin, Haab y Cuenta Larga.
• Si el tiempo lo permite, cada participante diseñará una "estela" con su fecha de nacimiento, representada en los tres calendarios.

Referencias adicionales:

• Nací el 12•16•9•5•0 11Ahau 13Cumku. 
• Ciclos en el tiempo.
• Lo arbitrario de cualquier calendario.
• ¿ 13.0.0.0.0 3Kankin 4Ahau = 21/12/2012 ?, un asunto de correlación.
• 260 días de un sol cenital al siguiente.
• Una curiosidad en el sistema de numeración maya.

La Distribución Binomial y el ACUMULADO

“En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles. A uno de estos se denomina «éxito» y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, «fracaso», con una probabilidad2​ q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.” [sic]. Wikipedia.

Veamos algunos similitudes y diferencias, para un ACUMULADO (¡con reposición!):

• Si las condiciones del inicio del juego se hubiesen mantenido, con 75 bolitas “no acumulado” y una bolita “acumulado”, entonces
  p=1/75= 0,0133 = 1,33 %
  q= 1-p = 74/75= 0,09866 = 98,66 %.
• Los valores p y q deben mantenerse (tener el mismo valor, ser constantes) durante todas las veces que se realice el juego.
  Esto es a todas luces un requisito que no puede obviarse por el administrador del juego, especialmente si hay inversiones de dinero por parte de los jugadores.
• En el caso del juego "sin reposición", como el AMULADO, la probabilidad p aumenta después de cada juego y la probabilidad q disminuye.
• Supongamos que el juego se realiza con dos tipos de bolitas:
  74 bolitas iguales que representan el “fracaso”, o “no acumulado” y
  1 bolita que representa el “éxito”, o “acumulado”.
  Esta última bolita debe ser igual en todas sus características físicas a las otras 74, excepto en una, que la distingue, y podría ser un color diferente.

¿Cómo lograr eso?

Bueno se puede contratar una empresa que haga las bolitas, exigiéndole el cumplimiento de algunos parámetros, que debe definir el administrador del juego. También debe darlos a conocer a los jugadores desde antes del primer juego, por ejemplo:

• Todas las bolitas deben hacerse de un material liviano (pensando introducirlas en una tómbola) y que resistan las colisiones entre sí y contra la tómbola, por un tiempo satisfactorio para no estarlas cambiando.
  Esto es, que no se deformen ni se astillen, etc.
• Que su esfericidad sea casi perfecta (que no se deformen con el uso).
• Se especificaría un “diámetro promedio y una incertidumbre aceptable”, digamos 19,50 mm ±0,05 mm.
  Implica que solo bolitas con diámetro entre [19,45 mm y 19,55 mm] serían aceptables.
  Esto para mantener un nivel de confiabilidad en el juego, no mayor al 1% de error, que a los usuarios les agradaría mucho.
• De la misma manera se especifica un “peso promedio y su incertidumbre”, digamos 5,50 g ±0,05 g (¡gramos peso!).
  Entonces solo bolitas entre [5,45 g y 5,55 g] serían aceptables.

Supongo que se puede encontrar un fabricante que cumpla los requisitos anteriores para ese producto, puesto que por el aspecto de mediciones no hay problema, las balanzas electrónicas (digitales) y los micrómetros pueden medir milésimas de la menor división de escala.

• No olvidemos la “igualdad” o al menos similaridad de la superficie de todas las bolitas, puesto que se debe mantener las mismas condiciones de colisión entre ellas (que pueden ser más de 50 en cada juego) y con la pared de la tómbola.
  Mi sugerencia es simplemente distinguir la bolita "acumulado" de una manera no invasiva para la superficie, con un color (blanco, negro, amarillo, rojo) que quizás puede darlo la misma madera.

Ahora viene los más lo importante:

• Las tres condiciones de arriba (diámetro, peso y calidad de la superficie) las debe cumplir simultánemanete cualquier bolita, de lo contrario hay que descartarla.

Para mantener las condiciones de aplicabilidad de la distribución binomial (p y q constantes), yo tomaría otras precauciones, por ejemplo:

Comprobar si las bolitas siempre pasan de igual manera por la trampilla de salida.

Establecer un número fijo de vueltas de la tómbola, en un sentido y en otro, por ejemplo (3 y 3) para que sea ejecutado siempre por los operadores del juego.

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Ya más desde el punto de vista estadístico, no estrictamente relacionado con el juego del ACUMULADO, la distribución binomial es

Donde N es el número de veces que se realiza el juego, n₁ el número de “éxitos” y n₂ = N – n₁ el número de “fracasos”.

N! (factorial de N) es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta N. Por ejemplo, 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x 5= 120.

es la probabilidad de que en N juegos ocurran n₁ “éxitos”.

Se puede demostrar que el número promedio de “éxitos”, si el juego continuara reponiendo la bolita es:

Así que, de acuerdo con la teoría de la distribución binomial, con las probabilidades p y q establecidas al principio, habría que jugar el juego unas 75 veces, para que en promedio ocurra 1 “éxito”.
Estadísticamente el juego está bien diseñado para darle buena ventaja a "la casa”.

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Para terminar, quiero indicarle que el juego real del ACUMULADO, obedece a una distribución binomial sin reposición, pues la bolita “fracaso” no regresa a la tómbola. Eso hace más complejo su análisis.
Además, el juego termina cuando sale la bolita ACUMULADO y vuelve a iniciar en el próximo sorteo, con condiciones diferentes.

La probabilidad p de “éxito” va aumentando a medida que pasan los sorteos.
Por ejemplo, cuando queden 27 bolitas; p = 1/27 = 3,70% y q= 96,30 %.

Si llegan a quedar 10 será, p= 1/10 = 10% y q= 90%. 

Si llegan a quedar 5 será, p= 1/5 = 20% y q= 80%. 

Y si llegara a quedar una bolita, esa es la ganadora, entonces p= 1 = 100%.

Ahora no olvide que la "probabilidad" es solo una estimación matemática sobre la ocurrencia del evento.
En la realidad el evento favorable podría ocurrir a la primera vez que se realiza el sorteo, ocurrir varias veces seguidas, o quedarse hasta el final.
Todas las situaciones son igualmente posibles, siempre y cuando se mantenga "pura" la aleatoridad del juego.

Cinta de Möbius * ¡cortada! *

Esta actividad, u otra semejante, la encuentra descrita en una gran variedad de textos y en sitios de Internet. Seguro muchos de sus amigos ya la han hecho, porque es entretenida y educativa.

Pero si nada de eso le atrae, ¿qué le parece hacerla con tiras de papel satinado de colores, para adornos más ecológicos en su árbol de navidad?
August Ferdinand Möbius (1790 - 1868). (El libro de las Matemáticas; Clifford A. Pickover, página 248.)

“Una cinta de Moebius es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.
Para construir una cinta de Möbius, se toma una tira de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos antes de pegarlos” [sic] Wikipedia.

Para esta actividad le recomiendo una hoja de papel suficientemente larga y que tenga ilustraciones o color diferente de uno de sus lados.

Para hacer esta cinta de Moebius corté una tira de papel de 2 cm de ancho y le rayé el centro a uno de los lados, le di media vuelta y pegué los extremos. El resultado es la cinta de Moebius original, con una sola superficie y un solo borde (figura 1).👇
Esto lo puede comprobar fácilmente recorriendo el borde (digamos el derecho) con sus dedos, para ver que regresa al mismo punto, en una vuelta entera, por el mismo borde. 

“La cinta de Moebius solo tiene un borde”.

También note que, si inicia un recorrido (imagine una hormiga caminando) por el lado blanco de la tira de papel, regresa por el lado de color y así sucesivamente, esto es: 

“La cinta de Moebius solo tiene un lado”.

Ahora usemos una tijera para cortar la cinta de Moebius por el centro y a lo largo.

¿Qué resulta? (figura 2).
Hágalo, compruébelo y escriba una explicación.👇

Tira de dos colores, media vuelta. Cinta de Moebius.

Tira de dos colores, media vuelta, cortada por la mitad. Investigue qué resulta.

Otra variación consiste en cortar la cinta de Moebius a lo largo de una curva a una cuarta parte del ancho de la tira de papel (a 0,5 cm). Prepare entonces la tira ráyela a 0,5 cm de un lado, construya la cinta de Moebius y recorte.
¿Qué resulta? (figura 3). De una explicación.

Por último, recorte una tira de papel, marque el centro, pero de dos medias vueltas antes de pegar los extremos.

¿Es el resultado una cinta de Moebius? (figura 3).

Finalmente recorte por el centro (figura 4). ¿Qué encontró?

Tira de dos colores, dos medias vueltas. Cortada por la mitad.

Tira de dos colores, media vuelta. Cortada a una cuarta parte del ancho.

Si quiere seguir, dele a la tira de papel un número mayor de medias vueltas y recorte la cinta por la mitad o a la tercera parte del ancho.
Investigue y explique los resultados.

https://www.mcescher.com/gallery/recognition-success/mobius-strip-ii/