La cuadratura de la lúnula

Encontré en "El libro de las MΛtΣmΛticΛs"  (Clifford A. Pickover), página 48, esta interesante página sobre el trabajo del matemático griego Hipócrates de Quíos (470 - 400 a.e.c.), para hayar el área de un cuadrado, equivalente al de una lúnula dada.

Una lúnula es una superficie plana en forma de luna creciente, limitada por dos arcos de circunferencia cóncavos. En el ejemplo, el área de las dos lúnulas amarillas, asociadas a los lados de un triángulo rectángulo inscrito en un círculo, es equivalente al área del triángulo rojo.

En la época de Hipócrates, creo que la demostración se hacia con regla y compás, auque seguro que se conocía el teorema de Pitágoras, pero el uso del álgebra, como lo voy a hacer aquí, quizás no era tan generalizado.

Le propongo este ejercicio como práctica matemática para usted. Supongo que estudiantes de XI año, pueden resolverlo. Le daré unas ideas.

• La hipotenusa c del triángulo rojo es un diámetro, por eso el triángulo es rectángulo.
• El área del triángulo rectánglo rojo es (a x b)/2.
• El área del círculo azul de diámetro c es: p(c/2)²

• La suma de las área de las dos lúnulas amarillas es igual al área de los dos semicírculos de diámetro a y b, respectivamente, menos el área de un semicírculo azul de diámetro c, al que se le ha quitado el área del triángulo rectángulo rojo.
• Necesita además el teorema de Pitágoras; a² + b² = c²     
• El área de las dos lúnulas es: 
  
• Si el triángulo rectángulo es "isósceles", el área de una lúnula es:  a²/4.
  
  

  Pero si el  triángulo inscrito es equilátero de lado D, el procedimiento es ligeramente diferente.              👉

  El área de la lúnula amarilla es: Solo despeje R, sustituya en la fórmula del área y encuentre el valor. (¡mi resultado, por favor revise!)

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• El procediento para un hexágono regular inscrito es casi el mismo. 
• Diviértase encontrando en área de una lúnula para un cuadrado inscrito y para otras figuras inscritas; rectángulo, pentágono regular.
  Complete usted el dibujo de las lúnulas.
  

  Dibuje las dos curvas de una lúnula.

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Referencias adicionales:

• https://www.youtube.com/watch?v=5Zst_hhWfP0.
• https://en.wikipedia.org/wiki/Lune_(geometry)

• https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3crates     (el médico).