martes, 12 de julio de 2022

Polígonos de igual perímetro. PIAM - U.C.R. (taller; práctica para curso "Conversemos sobre matemática". 13/07/2022, (clase de astronomía.)

Materiales:

  1. 2 o más botellas plásticas (de refresco), IGUALES, de buen tamaño (2, o 3 litros). Deben tener una gran parte “lisa” (cilíndrica). De color agregaría un buen ingrediente.
  2. Navaja “cúter”, tijera (se puede compartir).
  3. Regla graduada en milímetros. Cuerda fina (la aporta el profesor).
  4. Lapicero y marcador pilot (indeleble,... pero no imprescindible).
  5. Calculadora básica (se puede compartir, o usar de la internet; https://www.calculator.net/scientific-calculator.html

Procedimiento:

  • Corte con cuidado la base de la botella a lo largo de la línea marcada(hendida).
  • Colóque la botella sobre la mesa y proceda a medir (con cuidado y precisión) el PERÍMETRO del cilindro, de la siguiente manera:
    “Corte un trozo de cuerda, marque un punto de inicio (0 mm) y con cuidado ajústelo a la circunferencia de la botella (sin estrangular ni que quede flojo).
    Marque el punto final (cuando coincide con el cero).
    Colóque la cuerda sobre la regla graduada y MIDA entre las dos marcas. ESTIME hasta la décima de milímetro (o al menos hasta la mitad); por ejemplo: 32,70 cm; o 32,75 cm
    Podría también usar una cinta flexible (de costurera).
  • Coloque el marcador pilot contra la superficie cilíndrica de la botella y marque una cinta de unos 2,0 cm de ancho (aproximadamente), haciéndola girar.
    Puede usar un soporte para calibrar el ancho de la cinta que quiere.
    Proceda a cortar la cinta; el cúter puede ayudarle al inicio y la tijera para el resto.
  • Corte todas las cintas hasta llegar al cuello; deben quedar TODAS cilíndricas e IGUALES.
  • Si le sobra una cinta más ancha, resérvela para otro proyecto (Cinta de Möbius).
En clase tendremos más instrucciones específicas.

 Circunferencia; C = 2 π  R = 37,10 cm.

Entonces:
Radio        = 5,90 cm.
Diámetro  =11,81 cm.
Área        = 109,5 cm2.

  • 1 doblez.

Hacia afuera.
¡¿Gota de agua?!

Hacia adentro 👉
¡Póngale nombre!

  •  2 dobleces.


 

¡Ojo chino!

¡Corazón!

 


¡¿ Ocho...
o infinito ?!


  • Con 3, 4, o más dobleces haremos algunos polígonos que requieren un poco de matemática básica y mediciones; por ejemplo: tríángulo equilátero, triángulo rectángulo (pitagórico), cuadrado, hexágono y otros que resulten combiando dobleces hacia adentro y hacia afuera.
    Todos de igual perímetro.

    4 dobleces, hacia adentro.
    ¿Qué nombre le pondremos?

  • Si nos queda un poco de tiempo (o en otra clase) haremos un poco de estadística elemental con las mediciones de la circunferencia (entre botellas similares); por ejemplo: promedio aritmético, valor más probable, desviaciones respecto al promedio y desviación estándard.

  • Triángulo rectángulo semejante al 3 - 4- 5.

    (ángulos 37°, 53°, 90°)


    Usaremos el teorema de Thales y quizás

    el torema de Pitágoras.


    ¡¡Bueno,... casi!!😅


viernes, 14 de enero de 2022

La cuadratura de la lúnula

Encontré en "El libro de las MΛtΣmΛticΛs"  (Clifford A. Pickover), página 48, esta interesante página sobre el trabajo del matemático griego Hipócrates de Quíos (470 - 400 a.e.c.), para hayar el área de un cuadrado, equivalente al de una lúnula dada.



Una lúnula es una superficie plana en forma de luna creciente, limitada por dos arcos de circunferencia cóncavos.
En el ejemplo, el área de las dos lúnulas amarillas, asociadas a los lados de un triángulo rectángulo inscrito en un círculo, es equivalente al área del triángulo rojo.

En la época de Hipócrates, creo que la demostración se hacia con regla y compás, auque seguro que se conocía el teorema de Pitágoras, pero el uso del álgebra, como lo voy a hacer aquí, quizás no era tan generalizado.
Le propongo este ejercicio como práctica matemática para usted. Supongo que estudiantes de XI año, pueden resolverlo. Le daré unas ideas.
  • La hipotenusa c del triángulo rojo es un diámetro, por eso el triángulo es rectángulo.
  • El área del triángulo rectánglo rojo es (a x b)/2.
  • El área del círculo azul de diámetro c es: p(c/2)2

  • La suma de las área de las dos lúnulas amarillas es igual al área de los dos semicírculos de diámetro a y b, respectivamente, menos el área de un semicírculo azul de diámetro c, al que se le ha quitado el área del triángulo rectángulo rojo.
  • Necesita además el teorema de Pitágoras; a2 + b2 = c2     
  • El área de las dos lúnulas es: 
  • Si el triángulo rectángulo es "isósceles", el área de una lúnula es:  a2/4.

    Pero si el  triángulo inscrito es equilátero de lado D, el procedimiento es ligeramente diferente.              👉

     

    El área de la lúnula amarilla es:


    Solo despeje R, sustituya en la fórmula del área y encuentre el valor.

    (¡mi resultado, por favor revise!)

  •                                 
  • El procediento para un hexágono regular inscrito es casi el mismo. 
  • Diviértase encontrando en área de una lúnula para un cuadrado inscrito y para otras figuras inscritas; rectángulopentágono regular.
    Complete usted el dibujo de las lúnulas.



    Dibuje las dos curvas de una lúnula.

     


jueves, 6 de enero de 2022

2022 es un año “pitagórico”

😂...es solo una anécdota....😅

El día primero de enero de 2022, recibí esta imagen-saludo, cortesía de mi colega Pablo Hernández, con quien impartí, en el 2021, el curso del Piam-UCR; “Física sin matemática” (se volverá a impartir -presencial- este año).

Me agradó la imagen y la guardé. Normalmente no guardo “reenviados”, espero no ofender a mis amigos (… nada personal…)

Hoy la vi de nuevo y me di cuenta del mensaje (…💣me cayó la moneda💥…). Gracias.
En efecto; 2022 es la hipotenusa perfecta para una terna pitagórica, de catetos; dos años del siglo XX: 1050 y 1728.

O si lo prefiere:

¿No saben el cuento-chiste del señor Pitágoras y su compañera “Nusa”?
Me lo contó hace 10 años P.Z.A, si me animo, algún día se los contaré.

 Los ángulos agudos de este triángulo “pitagórico” son:

Algo similares a los del triángulo 3-4-5.

Referencias adicionales:

domingo, 24 de enero de 2021

¿El hexágono del invierno es un pentágono? (revise señor editor)

NIGHT SKY SIGHTS 

WATCH THE MOON JOURNEY ACROSS THE WINTER HEXAGON

https://skyandtelescope.org/astronomy-news/watch-moon-winter-hexagon/


The Moon crosses the Winter Hexagon over a period of four nights — check back about once a month to watch the season progress. (Note that due to projection effects, the constellations toward the top appear a bit squished compared to how you'd see them on the sky.)
Sky & Telescope
*************
Sin embargo, la información astronómica es interesante.

Ahora, si quiere tomar fotos de la Luna llena cerca del horizonte, ¡con paisaje local!, luego de que la Luna salga del hexágono del invierno, aproveche estas fechas:

  • El 27 el orto es a las 16:51 Este-Noreste.
    De día es un poco más fácil la fotografía, porque las cámaras trabajan mejor con poco contraste.  
  • El 28 a las 17:48.
  • El 29 a las 18:45.

Como el orto es calculado con un horizonte promedio, para que se brinque una montaña como el Irazú debe esperar unos 25 minutos.
El ocaso por la mañana es también apropiado:

  • El 27 a las 05:00.Oeste-Noroeste, aproximadamente.
  • El 28 a las 05:50.
  • El 29 a las 06:57.

*****************************

¡¡ Ya sabíamos geometría desde
"Los elementos" de Euclides (300 a.C.) 
!!
¡Pero bueno solo no cometen errores los que nunca hacen nada!

Esto sí es el hexágono del invierno.

viernes, 1 de enero de 2021

¿Cuántos calendarios diferentes necesita?

Hola. Feliz año nuevo 2021.

¿Se dio cuenta que el primero de enero de 2020 ocurrió un día miércoles, mientras que el primero de enero de 2021 es viernes?

¡Un salto de dos días!



¿Cuándo puede volver a usar el mismo formato del calendario 2020?
¿Cuántos años debe esperar?
¿Cuántos formatos diferentes de calendario se necesitan para tener todas las posibilidades cubiertas?

Desde luego sin tomar en cuenta que el domingo de Pascua Cristiana cambia año con año, por motivos de la ocurrencia de la luna llena después del equinoccio de marzo, el que marca el inicio oficial de la primavera “en todo el hemisferio norte”. Esto debido a reglas establecidas por la Iglesia desde el año 325.

Ni sin tomar en cuenta que solsticios, equinoccios, perihelio, afelio y lluvias de meteoros podrían tener pequeños cambios (un día quizás).
Desde luego las lunaciones, perigeos y apogeos, pues no calzarán con los calendarios de los diferentes años, porque estos fenómenos astronómicos de menor período tampoco dependen del calendario.



La figura de la derecha, abajo, muestra la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Es una elipse, no una circunferencia, porque la distancia Tierra-Sol varía día a día.
El “perihelio” o punto más cercano al Sol es el sábado 02/01 a las 02:59.

El “equinoccio de marzo, cuando el día y la noche tienen aproximadamente la misma duración, es el sábado 20/03 a las 03:37. Este equinoccio marca el inicio oficial de la primavera en todo el hemisferio norte.
Únicamente durante los dos equinoccios el orto del sol ocurre exactamente por el Este, y su ocaso exactamente por el Oeste, no importa donde usted esté. Aproveche para identificar esos puntos –desde su ventana-, en su horizonte lejano, montañas, etc.

El “solsticio del norte”ocurre el domingo 20/06 a las 21:32. Este solsticio marca el inicio oficial de la estación de verano en el hemisferio norte.

El lunes 05/07 a las 20:59 la Tierra llega al otro extremo de su órbita, el punto de mayor distancia al Sol, el afelio.

Luego sigue el equinoccio de setiembre, el miércoles 23/09 a las 13:21

El solsticio del sur, el martes 21/12 a las 09:59.
Y la órbita se completará en los primeros días del año 2022, con un nuevo perihelio.


Ninguno de los tres tipos de eclipses de sol de este año; total, anular o parcial serán visibles desde Costa Rica. Recuerde, sin embargo, que los eclipses solares solo pueden ocurrir en -algunas lunas nuevas- cuando se dan además ciertas condiciones particulares.

Pero el miércoles 26 de mayo hay un eclipse total de luna, que ocurre a poca altura para nuestra posición. Quizás podamos apreciar una parte del inicio de la etapa parcial.
La categoría de cualquier eclipses de luna (penumbral, parcial, total), se establece por el máximo que alcanza en alguna región de la Tierra.


Y el viernes 19 de noviembre ocurrirá un profundo eclipse parcial de luna, casi total.
Intente distinguir la etapa penumbral, desde poco después de media noche. Yo nunca lo he logrado de manera satisfactoria.

No deje de analizar la causa del borde curvo de la umbra en la sombra de la Tierra, mientras avanza sobre la superficie de la Lunar.
¿Podrá una Tierra plana, ¡como un plato!, causar este tipo de borde de sombra?
Para que usted observe un eclipse de Luna solo se requiere que la Luna este encima de su horizonte y desde luego, que el cielo no esté nublado.

Tampoco requieren ninguna protección para sus ojos (ni piel) ya que lo que ve es luz del Sol reflejada en la Luna, como en cualquier llena, con su iluminacións disminuida por la sombra de la Tierra.

Bueno, volvamos al asunto de los calendarios.

Supongo que sabe que el periodo de revolución de la Tierra alrededor del Sol, de perihelio a perihelio (o de equinoccio a equinoccio), es 365 días, 6 horas y unos cuantos minutos y segundos más.
Pero un calendario civil solo puede tener un número entero de días, por eso escogemos tres de 365 días y uno de 366 para promediar y compensar un poco el inevitable desfase.





A la izquierda le anoto las lunas llenas y a la derecha las lunas nuevas para este año2021.
Noche estrellada, por Vincent van Gogh.
(https://www.moma.org/collection/works/79802
)





sábado, 18 de enero de 2020

Luna-Marte-Antares, la foto astronómica del lunes

Como este es un blog de matemática, le pido a los astrónomos que me aguanten un poquito.
Las estrellas, por su distancia, las vemos como puntos (¡sin extensión!), no como los planetas a los cuales se les aprecia un disco (¡dos dimensiones!), esto por estar muy cerca, aunque sean mucho menores que las estrellas. 
  •  Por un punto se puede trazar infinito número de rectas.
Lo de punto no se aplica, desde luego al Sol y a la ahora más famosa Betelgeuse (https://fisica1011tutor.blogspot.com/2019/12/la-estrella-betelgeuse-disminuye-su.html), dos ejemplos en los cuales distancia y tamaño se conjugan  para que podamos tomar fotos en las cuales apreciamos el diámetro estelar.

Entre Betelgeuse y Rigel solo se puede trazar una recta, pero también ellas pueden unir dos puntos en una curva (la cuerda de un círculo), o de una superficie (como más o menos va el concepto teórico de esfera celeste).
Me hace gracia el principiante que observa el cielo, cuando trato de que ubique dos estrellas y me dice: “¡Ah si esas dos que están en línea recta!”. Pero lo respeto y pienso que en algún momento se dará cuenta. Todos pasamos por esa etapa, lo importante en la vida es el crecimiento.
  • Según Euclides, entre dos puntos solo se puede trazar una recta y es la menor distancia entre ellas.
Pero tenga presente que para viajar de San José a París no se puede ir en línea recta (¡geodésicas!)


La Luna (https://astronomia10norte.blogspot.com/2020/01/hoy-es-la-luna-llena-del-lobo.html), 
Marte (https://astrovilla2000.blogspot.com/2019/12/el-laberinto-de-la-noche.html) y 
Antares (https://www.star-facts.com/antares/), 
las veremos el lunes en la madrugada formando un triángulo (¿plano?)
Pues sí a esa pequeña escala, a pesar de que sabemos que no están a distancias similares. En la noche no es simple apreciar la profundidad.
  • Tres puntos determinan un único plano.
Por eso los trípodes de nuestros telescopios siempre se ajustan a cualquier terreno. Pero Tenga cuidado, aquí además interviene la física (es decir a gravedad) y nuestro trípode puede quedar desbalanceado. El telescopio se caerá si no tenemos cuidado, por eso los trípodes tienen patas ajustables (telescópicas).

¿Sabe cómo está construido un esferómetro, para medir la curvatura de las lentes y espejos de nuestros telescopios? Pues con buena matemática, ingeniería y mecánica de precisión (https://fisica1011tutor.blogspot.com/2014/05/esferometro-para-medir-las-esferas-de.html).

Identificar una superficie plana, especialmente cuando es enorme, es un trabajo bastante difícil, si no usamos todos nuestros sentidos "bien despiertos" y toda la ayuda tecnológica posible. Por eso algunos -homo sapiens-, que ignoran esto, aceptan que la Tierra es plana.
Bueno, también podría tratarse de una especie de religión, que respeto, pero no acepto que llegue a la escuela; la realidad de de la naturaleza, que la ciencia ha descubierto durante años, es inclaudicable.

El planetario Cartes du Ciel (https://sourceforge.net/projects/skychart/) puede darle la distancia angular, entre la Luna Marte, o con Antares, a como vemos ese triángulo desde la Tierra. Encuentre ese valor, será interesante y aprenderá mucho.
Pero en la profundidad del espacio, el triángulo realmente existe.
Esos tres objetos celestes están en cada uno de los vértices de un tetraedro irregularísimo”
¿Y en el cuarto vértice qué hay? 
Pues usted en la Tierra.
La distancia Tierra-Luna es 0,00252 UA.
La distancia Tierra-Marte es 2,093 UA
La distancia Tierra-Antares es 554 años luz (desprecie la distancia Tierra Sol).

Vamos a suponer que los ángulos de los vértices terrestre de ese tetraedro son iguales; 30° (simplemente para hacer algo, -si nunca hacemos nada, pues desde luego nunca nos equivocaremos-).


Para encontrar las distancias reales entres los tres objetos celestes, tiene dos lados y el ángulo comprendido. Así que para resolver esos triángulos puede usar el teorema del coseno. En 1960, cuando estaba en el Colegio de Naranjo, me lo enseñaron y hasta salió un problema en el examen de Bachillerato (¡no eran de escogencia múltiple!). 
Entonces, con 56 años de progreso, supongo que hoy es “pan comido” en sexto grado. Bueno, a menos que ahora no tenga importancia, porque parece que en educación la tendencia actual es dar todo casi regalado.



Si intenta resolverlo, tenga cuidado, las unidades de medición deben ser las mismas (https://fisica1011tutor.blogspot.com/2018/09/fisica-examen-de-bachillerato-guia-de.html).
Por una confusión entre millas y kilómetros, en 1999 la sonda espacial "Mars Climate Orbiter" se estrelló contra la superficie de Marte.

Ahora sí, la foto del lunes
Será hacia el Sureste, como a las 4 de la mañana, para no tener que madrugar mucho. 
Pero mejor vea la imagen de Stellarium (https://stellarium.org/), que vale más que mil palabras.




Es interesante que Antares (m = 1,05), le gana en brillo a Marte (m= 1,45), por el gran tamaño y luminosidad de la estrella, a pesar de estar muchísimo más distante.

Buena suerte y que tenga cielo despejado.
Envíeme sus fotos (y comentarios) para ilustrar este artículo 📷.

martes, 12 de marzo de 2019

3 / 14 (marzo 14), día de "pi"

En los países que usan la nomenclatura mes – día - año, para el calendario; el día marzo - 14 se recuerda a la constante matemática universal p

El matemático galés William Jones introdujo el símbolo p en 1706, seguro por la palabra griega perímetro (pερίμετρος). El concepto más sencillo que tenemos de esta constante es:
"el número de veces que el diámetro de un círculo cabe en su circunferencia."

Posiblemente los pueblos antiguos descubrieron esta constante, relacionándola con el diámetro de la rueda de un carro y lo que se desplazaba dicho vehículo cuando la rueda da una vuelta completa.

Comprobar esto, hasta cierto grado de aproximación, no es difícil, hágalo y se convencerá. Simplemente trace en una hoja de papel (con mucho cuidado) un círculo de cierto radio, usando el método del cordel anudado para formar un lazo fijo, el lápiz y el clavito (figura abajo).
Si el cordel (entero) mide 10,0 cm, entonces el círculo le va a quedar de 5,0 cm de radio (10,0 cm de diámetro).
Ahora, corte el lazo y colóquelo con paciencia y cuidado a lo largo de la circunferencia. Encontrará que el cordel (el diámetro del círculo) cabrá en ella "3 veces y un poco más de una octava parte” (3,14 veces).

Los decimales pueden ser un cierto número de cifras, dependiendo de la precisión de su trabajo, como: 3,14159, pero para propósitos cotidianos, generalmente basta con 3,14.


p es un número irracional y no puede ser representado exactamente como una fracción común. Sin embargo, 22/7 = 3,1428571428, puede usarse para obtener resultados aproximados satisfactorios. p es el número trascedental más conocido.

Desde sus años intermedios de escuela, usted se encontró con esta interesante constante matemática, ya que el perímetro de un círculo (la circunferencia) y su área se calculan multiplicando p por otras cantidades, una de ellas la que determina el tamaño de esa figura geométrica (el diámetro).

Seguro en el colegio se topó con esferas y conos, cuyas áreas y volúmenes también se calculan con la intervención de p .
Yo me encontré con la elipse hasta en mis años de universidad, pero puede que usted haya tenido mejor suerte. Las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elipses, lo mismo que las de los satélites, naturales o artificiales, como la Luna y el Telescopio Espacial Hubble.
Al fin y al cabo, más de setenta años de progreso, deben haber mejorado algo las cosas. Si no ha sido así, pues, lamentablemente hemos desperdiciado el tiempo de nuestra educación básica.
No me acuerdo que en la Escuela República de Colombia, ni en el Colegio de Naranjo, le tuviésemos miedo (mucho menos fobia) a la matemática, y esto que en 1955 ni la palabra psicólogo era conocida por nosotros o nuestros padres.
Tampoco teníamos calculadora, sólo lápiz, papel y tablas usuales.
Conocí la regla de cálculo en la Universidad de Costa Rica, en 1962 y la calculadora científica llegó hasta 1969 en la Universidad de Texas.


a= semi-eje mayor
b= semi-eje menor



Aproximación de Ramanujan para el perímetro de la elipse.

A= p  a b
p no solo aparece en el campo de la geometría, sino también en otros campos de la matemática, y en ciencia, especialmente en Física, pero de eso conversaremos en otra oportunidad.

Ley de Coulomb.
Ecuación de Euler.
Fórmula de Hawking-Bekestein, para la entropía de un agujero negro.

A propósito de la fecha 3 de marzo, en este año 2019 se cumplen 140 años del nacimiento de Albert Einstein.


"Reenviado" por una persona que posiblemente "vio" mi artículo.