Rombicuboctaedro para su árbol de navidad

Colaboración de Marie Lissette Alvarado

Se trata de un reto medio para hacer un sólido de cartulina, decorarlo y colgarlo en su arbolito de navidad.Es una actividad para hacerla con la familia, y con amigos.

El “rombicuboctaedro”  es un sólido de Arquímedes, con ocho caras triangulares y dieciocho caras cuadradas. Hay 24 vértices idénticos, con un triángulo y tres cuadrados en cada uno. (Tenga en cuenta que seis de los cuadrados sólo comparten vértices con los triángulos mientras que los otros doce comparten un borde). El poliedro tiene simetría octaédrica, como el cubo y el octaedro. [sic. Wikipedia].

https://en.wikipedia.org/wiki/File :Rhombicuboctahedron.gif Para rotar el rombicuboctaedro haga click en el vínculo.

https://en.wikipedia.org/wiki /Rhombicuboctahedron#/media/File :Rhombicuboctahedron_flat.png

Superficie con las pestañas requeridas.  MLA.

Le aconsejo hacer el desarrollo de la superficie con regla y lápiz , tomando en cuenta las pestañas.

Todas las dimensiones (arista a) son iguales. El dibujo con una arista de 2,5 cm, cabe en una hoja tamaño carta, pero debido a su pequeño tamaño, la labor manual de pegado, es un poco incómoda.

El mío lo hice en una cartulina blanca, y usé una arista de 3 cm, porque es más fácil de manipular.Con la punta de una herramienta (hueso de construcción) remarque todas las rectas de los dobleces, tanto en la figura como en las pestañas.

• Recorte por todo el borde, use un cuter y una regla preferiblemente de metal, la tijera no es muy práctica.
• Doble con cuidado por todas las aristas.
• Refuerce el interior de las pestañas con masking tape, antes de colocarles pegamento por el frente.
• Vaya armando con cuidado (sujete las superficies un rato, mientras la goma se seca).
• Comience por las formas triángulo-cuadrado-triángulo, poco a poco el sólido se va cerrando. 
• Deje de último la tapa que es un cuadrado donde se puede perforar con aguja e hilo dejando por dentro un botón  para evitar que se suelte. Puede usar silicón caliente.
• Pinte, decore, colóquele estrellitas fosforescentes, a su gusto.
• Que lo disfrute. 
• ¡Pero no olvide la matemática involucrada, será muy buena para su salud!

Desarrollo de la superficie en cartulina, a = 3 cm./ MLA.

Pintado de rojo con "spray"

y decorado con estrellitas fosforescentes.

Por si quiere algo extra:

• El área del rombicuboctaedro, es la suma de 18 cuadrados: 18 × a². Más 8 triángulos equiláteros: 8 × (a × a√3/2)/2.  Resulta entonces:

• ¡Proporcional de la segunda potencia de una arista! (todas son de igual longitud).
• El volumen no es tan simple (pero se puede intentar su demostración), en Wikipedia dicen que es:

• ¡Proporcional a la tercera potencia de una arista! (todas son de igual longitud).

Tetraedro regular https://en.wikipedia.org/wiki/ File:Tetrahedron.gif

https://upload.wikimedia .org/wikipedia/commons/4/48/Hexahedron.gif Hexaedro

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ commons/1/14/Octahedron.gif Octaedro regular

Este sólido, quizás con un grado más de complejidad que un “tetraedro regular”, un “hexaedro” (cubo), una “pirámide” (base cuadrada y cuatro triángulos isósceles), o un “octaedro regular” (como dos pirámides cuyos lados son triángulos equiláteros, unidas por la base).
Pero, desde luego, si quiere estudiar más matemática (geometría) y diseño gráfico, puede hacerlos todos. Verá que aprenderá bastante y de paso se divertirá.

¿Cuánto sabe sobre física de todos los días?

1.  De acuerdo con la tercera ley de Newton, cuando dos objetos chocan, no importa sus tamaños, en cuanto a la fuerza que uno ejerce sobre el otro (¡fuerzas de interacción!), se cumple que:

A. El cuerpo de más kilogramos ejerce mayor fuerza sobre el de menos kilogramos.

B. El cuerpo con menor velocidad ejerce menos fuerza sobre el más veloz.

C. Las dos fuerzas de interacción tienen la misma magnitud, pero dirección opuesta.

2. Los símbolos que se usan para expresar la unidades básicas de medición en el Sistema Internacional de Unidades y sus derivadas, que fue adoptado en Costa Rica con la ley 5292 de agosto de 1973, son letras o combinaciones de letras, mayúsculas o minúsculas.
Entonces, para las unidades de longitud, tiempo y masa y velocidad (metro, segundo, kilogramo y kilómetro/hora), se debe usar, respectivamente
A. mt, seg, kgr, Kms/hr.
B. m, s, kg, km/h.
C. mts, segs, Kgr, Kmts/hr.

3. De acuerdo con la segunda ley de Newton, si una única fuerza (o la suma de todas ellas), que actúa sobre un cuerpo, no es nula, entonces ese cuerpo
A. Se mueve con aceleración constante proporcional a la fuerza y en su misma dirección.
B. Se mueve con velocidad constante en proporción inversa a los kilogramos del cuerpo. 

C. Tiene una energía cinética (¡energía de movimiento!) constante, en la dirección de la fuerza.

4. Si se pudiese pisar hasta el fondo el pedal del acelerador de un carro, gastando gran cantidad de combustible por segundo, para mantener una rapidez  constante de 150 kilómetros por hora, a lo largo de una recta en una carretera (¡es ilegal y muy peligroso, no lo haga!), el carro viajaría con
A. Muchísima aceleración.

B. Aceleración igual a cero.
C. Aceleración creciente.

5. Cuando su carro viaja hacia delante, suponiendo un rodaje normal de las llantas, la fuerza que realmente lo empuja hacia adelante es la ejercida por
A. Las cuatro llantas sobre la carretera.

B. El motor y todo el sistema de propulsión sobre las llantas.

C. La carretera sobre las cuatro llantas.

6. Usted puede estacionar su carro y mantenerlo en reposo en una pendiente empinada (¡pero no demasiado!), debido a

A. La fuerza que ejerce el freno de mano sobre el sistema de frenado.

B. El peso del carro y mientras más pesado sea éste, mejor.
C. La fuerza de rozamiento estático entre las llantas y la carretera.

7. Para lograr el alcance máximo con el agua que usted lanza desde una manguera (¡independiente de detalles de presión!), el chorro debe salir con un ángulo (respecto a  la horizontal) cercano a
A. 55°

B. 45°

C. 35°

8. Cuando un paracaidista salta desde una avioneta a gran altura se puede decir que realiza
A. Un “salto al vacío”, porque a esa altura y velocidad, es como si no hubiese aire, esto es, casi un vacío.

B. Una “caída libre”, porque el rozamiento de la ropa y los aparejos con el aire, puede considerarse despreciable.

C. Una “caída en la atmósfera”, porque el rozamiento con el aire le permitirá alcanzar una rapidez límite segura.

9. Si una rueda grande y otra rueda pequeña (o engranajes bien acoplados), giran en contacto sin resbalar o patinar, se cumple que.

A. La rueda de menor radio da más vueltas por minuto que la de mayor radio.

B. El número de vueltas por minuto de ambas es igual, sin importar el radio.

C. La rueda de mayor radio da más vueltas por minuto que la de menor radio.

10. ¿Qué sucede con la energía potencial gravitatoria de una bola que, al dejarse caer de cierta altura, realiza algunos rebotes y finalmente queda en reposo en el suelo?

A. Se transforma en energía cinética que continua con la bola en el piso.

B. Se invierte en deformar momentáneamente la bola (¡y el piso!), producir ruido y aumentar (¡despreciable, pero...!) la energía interna de la bola (superficie y gas interior.

C. Se acumula totalmente como energía potencial elástica en el interior de la bola.

Si requiere una aclaración sobre las preguntas, o conversar sobre las posibles respuestas, use la facilidad de comentarios, o escriba a villalobosjosealberto@gmail.com.

12:05 a.m., ¿a qué se refiere?

Seguro que tanto usted como yo, hemos visto una expresión semejante, en otras oportunidades.
Para mi la última, fue en un reporte de la hora de una erupción del volcán Turrialba que ocurrió 5 minutos después de la media noche.

Al principio me pareció desconcertante, confusa y ambigua, ¿no sé qué le parece a usted?
Pero tomando en cuenta la costumbre y la manera de dar la hora, no solo  en Costa Rica, pues finalmente me pareció que no estaba mal.
Los astrónomos (aún los aficionados como yo) preferimos, sin embargo, dar la hora de un evento en sistema de 24 horas, entendido de la siguiente manera.

• El día empieza a media noche (¡o si le parece un epsilon de segundo después!), a las 00:00.
  Digamos cuando el sol cruza el meridiano opuesto al del observador, al otro lado de la Tierra, lo que a veces llamamos la culminación inferior. Claro esto es en realidad la medianoche solar local, pero para no complicar las cosas digamos que en esa noche particuclar, coincidió con la hora civil oficial (¡la del reloj!), cuando la ecuación del tiempo fuera igual a cero. 
• El medio día ocure a las 12:00, también en un día en que el tiempo solar coincide con la hora civil oficial.

Entonces en un sistema de 24 horas, donde no hay a.m., ni p.m., la hora del título de esta entrada sería más bien 00:05.
Sin embargo, pues no hay problema en expresarla como lo hice en el título, porque el uso generalizado rápidamente nos llama la atención y la cosa no pasa a más. 

Ahora bien, ¿qué le parece a usted “las doce antes meridiano” (12:00 a.m.), y “las doce pasado meridiano” (12:00 p.m.)?

Yo creo que hay una cierta ambigüedad, si no lingüística, si quizás lógica, matemática y astronómica.

El cruce del meridiano por el Sol, esto es la culminación superior o la culminación inferior de la estrella de nuestro sistema, no pertenece –ni al antes-, -ni al después-, ocurre en el momento preciso.
Es más o menos una situación análoga al cero de la recta numérica, no es ni positivo, ni negativo.
Entonces parece más correcto decir “doce medio día” (12:00) y “doce media noche” (00:00).
De hecho, en idioma inglés no se usa 12:00 a.m., ni 12:00 p.m., se usa “twelve noon” y “twelve midnight”, respectivamente, tampoco en francés, como se puede apreciar en la imagen anterior.
Bueno creo ahora estoy más convencido de usar para mis trabajos  astronómicos, el sistema de 24 horas. Así que estoy escribiendo esto el día primero de octubre a las 00:05.

Referencias adicionales:

• http://www.virtualnerd.com/pre-algebra/algebra-tools/positive-negative-number-definitions.php .
• http://math.stackexchange.com/questions/26705/is-zero-positive-or-negative.

Ángulo de 90°, con estacas y cuerdas (regla y compás)

Un lector de la entrada anterior, “Mi anécdota de la elipse”, me envía esta pregunta:

• ¿Cómo hacer en el campo un ángulo recto, para formar un rectángulo, un cuadrado, o un triángulo rectángulo, con lados de varios metros?

Bueno, como mis blogs son para amigos de todas las edades y niveles educativos y no para publicar mis descubrimientos o inventos, que generalmente los educadores y los divulgadores de la ciencia no tenemos, pues entonces ahí les va una respuesta.
Espero que a alguien le sirva en su finca, jardín o patio (eso sí plano).

Primero le contaré como lo hace un albañil, carpintero, o maestro de obras en una construcción. Lo que utiliza es una escuadra, supongo que mientras mayor sea su tamaño así es la precisión que obtendrá. Luego las rectas se amplían cuidadosamente con cuerdas, para extenderlas hasta el tamaño requerido. 

Desde luego también se puede usar instrumentos más sofisticados como un “teodolito”, una mira láser y aún un GPS, acompañados de los procedimientos apropiados.

Ahora le contaré sobre el procedimiento utilizado por los geómetras de la antigua Grecia; Tales, Pitágoras, Euclides y otros,  utilizando regla y compás, o mejor usando estacas y cuerdas.

Posiblemente como también lo hicieron egipcios, mayas (https://es.wikipedia.org/wiki/Templo_de_Kukulk%C3%A1n) y otros pueblos para definir los cuadrados de las bases de sus pirámides y templos.

Si lo que quiere es simplemente hacer ángulos rectos, divirtiéndose con un poco de geometría básica. Yo aplicaría al igual que los griegos, el Teorema de Pitágoras, pero de seguro usted amigo lector, debe tener algún otro método que me gustaría nos los relate por medio de un comentario.

1. En una fina cuerda hecha del material más “inextensible” que encuentre, marque segmentos de 3 unidades arbitrarias, seguido de 4 unidades y de 5 unidades (pueden ser de 3,0 m, 4,0 m y 5,0 m).
2. Con muchísimo cuidado (invirtiendo tiempo y técnica), construya un lazo con dicha cuerda de 12 unidades arbitrarías de perímetro. Tenga cuidado que la longitud de los segmentos (3, 4, 5) no se altere. Puede agregar un pequeño y fino nudito en las marcas que delimitan los extremos de los tres segmentos, para luego tensar el lazo formando un triángulo.
3. Con la ayuda de dos amigos coloque la cuerda en el lugar de trabajo, formando un triángulo cuyos lados serán 3 unidades, 4 unidades y 5 unidades, tensando el lazo con tres estacas, varillas o clavos, halando de los nuditos en los extremos de los segmentos.
4. El triángulo será rectángulo, con el ángulo recto (90°), en el vértice que forman los lados de 3 y 4 unidades.
   Quizás se necesite un tercer amigo para que supervise y evalué la exactitud y precisión del trabajo.
5. Ha construido uno de los triángulos pitagóricos más sencillos y útiles (3, 4, 5); 3² + 4² = 5².
6. ¿Sabe cuánto miden los otros ángulos de este triángulo?
   Use sus conocimientos sobre funciones trigonométricas (!las eliminaron del examen de bachillerato este año!), a lo mejor su celular tiene esta “aplicación”.
7. ¿Que le parce si me envía un comentario sobre la exactitud que obtendría si usa otro triángulo pitagórico, por ejemplo de lados (1, 1, √2), o (1, 2, √3)?

Referencias adicionales:

• http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Su09/King/Roofing/Application%20of%20%20Mathematics%20in%20Construction.htm .
• http://www.thisiscarpentry.com/2013/09/06/finding-the-right-angle/.
• http://www.lasertech.com/Laser-Measure-Horizontal-Angles.aspx.
• https://play.google.com/store/apps/details?id=com.gpsnav.evo.gps2&hl=en.

El templo de Kukulkán

La conjetura de Collatz

También me la encontré en “El libro de las MΛTΣMÁTICAS”, página 374, luego de que P. Cisneros me remitiera este vínculo: http://www.bbc.com/mundo/noticias-36651490, con un artículo ilustrado con el fractal que coloqué aquí de último.
Esta es la Conjetura de Collatz:

Escoja un número natural cualquiera; N= {1, 2, 3, 4,…}
Si el número es par, lo divide por 2.
Si el número es impar, lo multiplica por 3 y le suma 1.
Continúa aplicando las mismas reglas al resultado.

Puede utilizarla para divertirse un rato con una secuencia particular de números naturales, que puede crecer, decrecer, subir y bajar, pero finalmente llega a 4, 2, 1.
Por tales motivos también se le llama “Secuencia de Collatz”, “Números de granizo” y “Secuencia 3n +1”, entre otros.

Es una “conjetura”, porque a pesar de que representa un problema bastante simple, no se ha podido hasta ahora, realizar una demostración formal, esto es probar que es correcta, o incorrecta, ni encontrar un número natural que no satisfaga el resultado.

Esta es una secuencia corta: 7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1

Para hacer sus ensayos entretenidos, haga las cuentas mentalmente, use papel y lápiz, o una calculadora, eso sí tenga cuidado de no salirse de las reglas, pues se sale de la secuencia. 

¡Pruebe con el número 27!

¿Está pensado en usar enteros negativos?
Adelante, seguro no encontrará nada que no se conozca, pero será entretenido; ¡divida por -2, reste en vez de sumar, etc.!

Este problema fue presentado por el matemático alemán Lothar Collatz en 1937.

En las referencias encuentra sitios donde hay gráficos de una secuencia particular, inclusive puede escuchar las notas musicales que produce, en el instrumento de su elección (https://oeis.org/play?seq=A006577).

Referencias adicionales:
https://oeis.org/A006577 .
https://oeis.org/A070165/a070165.txt.
http://mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html.
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_unsolved_problems_in_mathematics

¿Cuánto sabe usted sobre la Tierra como planeta? (I)

Véalo muy bien ilustrado y más divertido en crhoy:http://www.crhoy.com/test-cuanto-sabe-usted-sobre-la-tierra-como-planeta/entretenimiento/

Les había dicho que además, publicaría aquí, test (!preguntas para distraernos y quizás repasar un poco!), sobre Física y Astronomía. Bueno esta es la primera. Agradezco al periódico crhoy la oportunidad para expresarme.

1. Tipo de órbita.
   La órbita de la Tierra alrededor del Sol, de la Luna alrededor de la Tierra y en realidad de cualquier planeta alrededor de su estrella es una:
   A. Circunferencia.
   B. Elipse.
   C. Cicloide.
   D. Círculo.
   
   
2. Sol al ocaso y al mediodía.
   ¿Por qué el Sol se ve más rojizo al ocaso, que a medio día?
   A. A mediodía el Sol está más caliente.
   B. Al ocaso los rayos solares son afectado por la Luna.
   C. Lo rayos solares atraviesan más atmósfera terrestre al ocaso.
   D. Porque a mediodía los rayos solares son cenitales.
   
   
3. Orden de los planetas.
   ¿Qué posición ocupa la Tierra en orden de distancia del Sol hacia afuera?
   A. Primera.
   B. Segunda.
   C. Tercera.
   D. Cuarta.
   
   
4. La Tierra y Venus.
   La Tierra tiene menor masa (kilogramos) y menor diámetro (kilómetros) que Venus.
   A. Falso
   B. Verdadero.
   
   
5. Agua en la Tierra.

   

   http://apod.nasa.gov/apod/astropix.html

   
   ¿El porcentaje de agua en el planeta Tierra es?
   A. Aproximadamente un 75 %
   B. Una billonésima de un 30%
   C. Aproximadamente 0,5 %
   
   
6. Vida.
   A la fecha estamos seguros de que en el Sistema Solar hay una civilización tecnológicamente avanzada, únicamente en la Tierra.
   A. Verdadero.
   B. Falso.
   
   
7. Obliquidad.
   El eje de rotación de la Tierra, respecto al plano de su órbita alrededor del Sol, tiene una inclinación fija de:
   A. 90,5°
   B. 66,5°
   C. 23,5°
   D. 0,5°
   
   
8. El peso de las cosas.
   ¿Qué determina su peso en la Tierra?
   A. La fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y usted.
   B. La intensa presión atmosférica de la Tierra.
   C. El relativo vacío interplanetario al final de la atmósfera.
   D. La fuerza de atracción gravitatoria combinada del Sol y la Luna.
   
   
9. Agua.
   En el Sistema Solar, solo en la Tierra se ha encontrado agua abundante en sus tres fases, sólido, líquido y vapor, un compuesto esencial para el establecimiento, de algún tipo de vida.
   A. Verdadero.
   B. Falso.
   
   
10. Estaciones.
    En la Tierra, las estaciones (invierno, primavera, verano y otoño), se deben fundamentalmente a:
    A. La distancia variable (elipse) entre la Tierra y el Sol, durante el año.
    B. La inclinación fija del plano orbital de la Tierra en el Sistema Solar.
    C. La inclinación fija del eje de rotación de la Tierra, respecto al plano orbital.
    
    

¿Cuánto sabe usted sobre matemática, carreteras y presas vehiculares?

Encuéntrelo muy bien ilustrado en crhoy. com: http://www.crhoy.com/entretenimiento/cuanto-sabe-usted-sobre-matematica-carreteras-y-presas-vehiculares/

Los problemas planteados son académicos y con datos simples, pero no totalmente ficticios. Los datos no necesariamente describen la realidad y los procedimientos sugeridos son aproximados. Haga usted sus ajustes.

1. Litros por hora.
   Suponga un carrito cuyo rendimiento mixto es 15 km/litro de gasolina. Si usted pudiese viajar en ciudad a 30 km/hora, gastaría 2 litros de gasolina para recorrer 30 km, o sea 2 litros por hora.
   ¿Cuántos litros de gasolina consumirá su carrito si está en una presa vehicular durante 90 minutos?
   A. 1 litro
   B. 2 litros
   C. 3 litros.
   
   
2. Gasolina desperdiciada.
   Si el rendimiento de su carrito es 2 litros/hora y usted hacía un recorrido de 30 km en una hora, pero debido a la presa vehicular su carrito viaja a 20 km/hora ¿Cuánta gasolina de más tiene que comprarle a Recope?
   A. 1,0 litro
   B. 0,6 litros
   C. 0,5 litros.
   
   
3.  Dinero malgastado.
   Si usted hace su viaje al trabajo de 60 km (ida y vuelta), de lunes a viernes, con su carrito de 2 litros/hora y el precio de la gasolina es Ȼ 602/litro. ¿Cuánto dinero por semana le hace desperdiciar la presa vehicular?
   A. Ȼ 1204
   B. Ȼ 6020
   A. Ȼ 12040
   
   
4. Tiempo desperdiciado.
   Si usted viajaba los 30 km a su trabajo de lunes a viernes  a 30 km/h. ¿Cuánto tiempo de su vida está desperdiciando por la presa vehicular, durante las 50 semanas de su año laboral?
   A. 50 horas
   B. 150 horas
   C. 250 horas
   
   
5. Más tiempo desperdiciado.
   En los tramos de la carretera 27, donde dos carriles se convierten en uno (o 3 en 1, porque ciertos conductores usan el faldón), en vez de viajar a 60 km/h, lo hace a 5 km/h (¡la velocidad de un vendedor ambulante!). ¿Cuánto tiempo de más tarda al recorrer 500 m?
   A. 1,5 minutos
   B. 3, 5 minutos
   C.  5,5 minutos
   
   
6. De uno o de dos carriles.
   Suponga que en 50 km de la calle 27 hay 10 tramos de 500 m (¡mejor cuéntelos y mídalos usted!), donde se vuelve de un carril (puentes agostos, mal diseño, etc.). ¿Qué porcentaje de esa calle es entonces de dos carriles?
   
   
   A. 95 %
   B. 90 %
   C. 85 %.
   
   
7. Rotondas muy pequeñas.
   El radio medio del carril externo en la Rotonda de las Garantías Sociales (mídalo con google maps) es de 36 m. Si los carritos que tienen la vía circulan a 20 km/h (= 5,5 m/s). ¿Cuánto tardan en recorrer un cuarto de vuelta? ¿Será por eso que a ciertas horas cuesta mucho entrar?
   A. 5 segundos
   B. 10 segundos
   C. 15 segundos
   D. 20 segundos
   
   
8. Recorre más distancia por la restricción.
   Suponga que usted podría viajar 20 km casi en línea recta de su casa al trabajo, pero debido a la restricción vehicular usted debe recorrer aproximadamente una circunferencia de 10 km de radio. ¿Cuantos kilómetros más debe recorrer?
   A. 10,0 km
   B. 11,4 km
   C. 31,4 km
   D. 42,8 km
   
   
9. ¿Cuántos carriles?
   Suponga que por la carretera 27, la distancia de San José a Puntarenas es 100 km. Que en Costa Rica hay 4,8 millones de habitantes y 188 carros por cada mil habitantes. Además que (¡en promedio!) los carros tienen 4 m largo. Si un día los colocáramos uno junto al otro en la 27, ¿cuántos carriles necesitaríamos?
   A. 36
   B. 24
   C. 12
   D. 8
    
   
10. Más dinero para combustible.
    El tanque de su carro tiene una capacidad de 60 litros y usted se quedó sin combustible el día anterior al alza. Si costaba Ȼ 498 por litro y ahora cuesta Ȼ 575. ¿Cuánto dinero adicional requiere para llenarlo al día siguiente?
    A. Ȼ 4620,00
    B. Ȼ 77,00
    C. Ȼ 4772,50

    Por favor, si encuentra alguna inconsistencia, pregunta mal planteada, o error de resolución, avíseme con un comentario.
Gracias.
villalobosjosealberto@gmail.com

    La respuesta más completa para cada pregunta y algunos comentarios sobre las alternativas incorrectas, aparecerán el miércoles siguiente, en la sección de comentarios, al final de la entrada.