Polígonos de igual perímetro. PIAM - U.C.R. (taller; práctica para curso "Conversemos sobre matemática". 13/07/2022, (Conversemos sobre astronomía.)

En realidad todos los lados son curvos, debido al material que se usa.

Materiales:

• Una botella plástica (de refresco) de buen tamaño (2, o 3 litros). Debe tener una gran parte lisa (cilíndrica).
• Navaja “cúter”, tijera (se puede compartir).
• Cinta métrica flexible ("de costurera"), graduada en milímetros. -opcional-. Yo tengo una.
• Marcador tipo pilot (-opcional si tiene permanente-)
• Calculadora básica (puede ser en el celular y se puede compartir el cálculo, o usar de la internet. Cargue un App en su teléfono. https://www.calculator.net/scientific-calculator.html
  
  
  TRABAJAREMOS EN GRUPOS DE DOS PARA AYUDARNOS
  Y COMPARTIR EQUIPO.
  ESPERE....las isntrucciones las daremos enclase

Procedimiento:

1. Corte con cuidado la base de la botella a lo largo de la línea  inferior de la etiqueta (o hendidura). -- MEJOR ESPERE A LA CLASE---, o pase al punto 2.
2. Coloque el marcador pilot contra la superficie cilíndrica de la botella y marque una cinta haciéndola girar. Puede usar un soporte (caja de fósforos --yo llevo unos de madera-) para calibrar la posición y ancho del corte. 
3. Colóque la botella sobre la mesa y proceda a medir (con cuidado y precisión) el PERÍMETRO del cilindro usando la "cinta de costurera" (su compañero la sostiene y usted mide, luego se cambian).
4.  ESTIME hasta la décima de milímetro (o al menos hasta la mitad); por ejemplo: 32,70 cm; o 32,75 cm.
5. Coloque la botella en la hoja de papel y marque con cuidado el perímetro (trate de que no se deforme). - Supuestamente una circunferncia-
   ¿Cómo encontraría el centro?
   ¿Como encontraría y mediría el diámetro y la longitud de la circunfrencia (perímetro)?
   Anote sus dos mediciones del perímetro:
a) método directo (cinta) = _______ cm
b) cálculo                         = ________ cm
6. Pase a la pizarra y anote su valor directo en la tabla (agregue iniciales).
7. Calculemos (ENTRE TODOS - en clase): valor mínimo, valor máximo, promedio, valor más probable, etc.
   
8. Coloque el marcador pilot contra la superficie cilíndrica de la botella y marque una cinta de unos 2,0 cm de ancho (aproximadamente), haciéndo girar la botella. Use el soporte para calibrar el ancho de la cinta que quiere.
9. Proceda a cortar la cinta; el cúter puede ayudarle al inicio y la tijera para el resto. Trate de producir un corte fino y parejo. 
10. Corte todas las cintas hasta llegar al cuello; deben quedar TODAS cilíndricas e IGUALES.
11. Si al final le sobra una cinta más ancha, resérvela para otro proyecto (Cinta de Möbius).
    En clase tendremos más instrucciones específicas.
    
    
12. SI LE PARECE DETENGA SU LECTURA AQUI.
    NO LEA LAS INSTRUCCIONES QUE SIGUEN PARA QUE RESULTE UNA SORPRESA ALGO DIVERTIDA E INSTRUCTIVA.
    
    

13. Circunferencia; C = 2 π  R = 37,10 cm. Entonces: Radio        = 5,90 cm. Diámetro  =11,81 cm. Área        = 109,5 cm2.

    1 doblez.

14. Hacia afuera. ¡¿Gota de agua?! Hacia adentro 👉 ¡Póngale nombre!

    2 dobleces.

15. ¡Ojo chino!

    ¡Corazón!

    ¡¿ Ocho... o infinito ?!

    Con 3, 4, o más dobleces haremos algunos polígonos que requieren un poco de matemática básica y mediciones; por ejemplo: tríángulo equilátero, triángulo rectángulo (pitagórico), cuadrado, hexágono y otros que resulten combiando dobleces hacia adentro y hacia afuera.

Todos de igual perímetro.

4 dobleces, hacia adentro.
¿Qué nombre le pondremos?

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• Triángulo rectángulo semejante al 3 - 4- 5. (ángulos 37°, 53°, 90°) Usaremos el teorema de Thales y quizás el torema de Pitágoras. ¡¡Bueno,... casi!!😅

La cuadratura de la lúnula

Encontré en "El libro de las MΛtΣmΛticΛs"  (Clifford A. Pickover), página 48, esta interesante página sobre el trabajo del matemático griego Hipócrates de Quíos (470 - 400 a.e.c.), para hayar el área de un cuadrado, equivalente al de una lúnula dada.

Una lúnula es una superficie plana en forma de luna creciente, limitada por dos arcos de circunferencia cóncavos. En el ejemplo, el área de las dos lúnulas amarillas, asociadas a los lados de un triángulo rectángulo inscrito en un círculo, es equivalente al área del triángulo rojo.

En la época de Hipócrates, creo que la demostración se hacia con regla y compás, auque seguro que se conocía el teorema de Pitágoras, pero el uso del álgebra, como lo voy a hacer aquí, quizás no era tan generalizado.

Le propongo este ejercicio como práctica matemática para usted. Supongo que estudiantes de XI año, pueden resolverlo. Le daré unas ideas.

• La hipotenusa c del triángulo rojo es un diámetro, por eso el triángulo es rectángulo.
• El área del triángulo rectánglo rojo es (a x b)/2.
• El área del círculo azul de diámetro c es: p(c/2)²

• La suma de las área de las dos lúnulas amarillas es igual al área de los dos semicírculos de diámetro a y b, respectivamente, menos el área de un semicírculo azul de diámetro c, al que se le ha quitado el área del triángulo rectángulo rojo.
• Necesita además el teorema de Pitágoras; a² + b² = c²     
• El área de las dos lúnulas es: 
  
• Si el triángulo rectángulo es "isósceles", el área de una lúnula es:  a²/4.
  
  

  Pero si el  triángulo inscrito es equilátero de lado D, el procedimiento es ligeramente diferente.              👉

  El área de la lúnula amarilla es: Solo despeje R, sustituya en la fórmula del área y encuentre el valor. (¡mi resultado, por favor revise!)

•                                 
• El procediento para un hexágono regular inscrito es casi el mismo. 
• Diviértase encontrando en área de una lúnula para un cuadrado inscrito y para otras figuras inscritas; rectángulo, pentágono regular.
  Complete usted el dibujo de las lúnulas.
  

  Dibuje las dos curvas de una lúnula.

• 
  

Referencias adicionales:

• https://www.youtube.com/watch?v=5Zst_hhWfP0.
• https://en.wikipedia.org/wiki/Lune_(geometry)

• https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3crates     (el médico).

2022 es un año “pitagórico”

😂...es solo una anécdota....😅

El día primero de enero de 2022, recibí esta imagen-saludo, cortesía de mi colega Pablo Hernández, con quien impartí, en el 2021, el curso del Piam-UCR; “Física sin matemática” (se volverá a impartir -presencial- este año).

Me agradó la imagen y la guardé. Normalmente no guardo “reenviados”, espero no ofender a mis amigos (… nada personal…)

Hoy la vi de nuevo y me di cuenta del mensaje (…💣me cayó la moneda💥…). Gracias.
En efecto; 2022 es la hipotenusa perfecta para una terna pitagórica, de catetos; dos años del siglo XX: 1050 y 1728.

O si lo prefiere:

¿No saben el cuento-chiste del señor Pitágoras y su compañera “Nusa”?
Me lo contó hace 10 años P.Z.A, si me animo, algún día se los contaré.

 Los ángulos agudos de este triángulo “pitagórico” son:

Algo similares a los del triángulo 3-4-5.

Referencias adicionales:

• Online calculator
• ¿Cansado del viejo y conocido triángulo 3-4-5?https://matecr.blogspot.com/2017/10/cansado-del-viejo-y-conocido-triangulo.html