El mediodía solar en Costa Rica (10° N; 84° O)

El mediodía solar es el momento en el cual el centro del disco solar cruza el meridiano del observador.

Esto no significa que el cruce sea cenital, con el Sol encima de la línea de la plomada, un error coceptual muy común.

El meridiano local (de usted como observador) en la curva imaginaria que parte del punto Norte de su horizonte, sube hacia el cenit y termina en el punto Sur.
Evidentemente el meridiano local (si lo considera como una circunferencia de 360°) pasa por el Polo Norte y el Polo Sur de la esfera celeste.

Si usted está mirando justamente hacia el Norte, entonces a su derecha y a 90° (a escuadra), encontrará el punto Este, mientras que a su izquierda y también a 90° encontrará el punto Oeste de su horizonte.

Fecha	Hora (C.R.)	Altitud	declinación	Fecha	Hora (C.R.)	Altitud
22 / 06	11:38	76,5°	± 23,5°	22 / 12	11:34	56,6°
29	11:39	76,7°		29	11:38	56,9°
01 / 07	11:40	76,9°		01 / 01	11:39	57,1°
08	11:41	77,5°		08	11:43	57,9°
15	11:42	78,5°		15	11;49	59,0°
22	11:42	79,8°		22	11:47	60,5°
29	11:42	81,3°		29	11:49	62,3°
01 / 08	11:42	82,0°		01 / 02	11:49	63,1°
08	11:41	83,9°		08	11:50	65,2°
15	11:40	86,0°		15	11:50	67,6°
22	11:39	88,3°		22	11:49	70,1°
27 / 08	11:37	90,0°	10°	28	11:48	72,3°
01 / 09	11:36	88,2°		01 / 03	11:48	72,7°
08	11:33	85,6°		08	11:47	75,4°
15	11:31	82,9°		15	11:45	78,1°
22	11:28	80,2°	0°	22	11:43	80,9°
29	11:26	77,5°		29	11:41	86,3°
01 / 10	11:25	76,7°		01 / 04	11:40	84,8°
08	11:23	74,0°		08	11:38	87,4°
15	11:22	71,4°	10°	15 / 04	11:36	90,0°
22	11:20	68,9°		22	11:34	87,6°
29	11:20	66,5°		29	11:33	85,3°
01 / 11	11:19	65,5°		01 / 05	11:48	72,7°
08	11:20	63,4°		08	11:47	75,4°
15	11:20	61,5°		15	11:45	78,1°
22	11:22	59,9°		22	11:43	80,9°
29	11;24	58,5°		29	11:41	83,6°
01 / 12	11:25	58,2°		01 / 06	11:34	77,8°
08	11:28	57,3°		08	11:35	77,1°
15	11:31	56,8°		15	11:36	76,6°

Otras definiciones:

El cruce cenital del Sol solamente se da en la zona intertropical de la Tierra, dos veces al año para cada latitud.
Fuera de esta zona, por ejemplo en Europa, Asia, Sur de Chile y de Argentina, y en Nueva Zelanda. el Sol no llega al cenit, en ningún momento.

En Costa Rica, la llamada fecha del Sol sin sombra ocurre alrededor del 15 de abril, cuando usted nota que el Sol se va corriendo hacia el solsticio del norte, y el 29 de agosto, cuando el Sol viene de regreso hacia el equinoccio de setiembre. Desde luego la fecha varía uno o dos días, si usted está al Sur del país, o al Norte.

Tampoco ocurre cuando su reloj marca las 12:00, porque Costa Rica no está en la longitud geográfica del meridiano del 90°, sino en el de 84° (coordenadas promedio), otro error común.
Ocurre unos 24 minutos antes, puesto que el Sol recorre 15°/hora (1° cada 4 minutos).

La altitud del Sol es el ángulo medido a lo largo del meridiano (0° a nivel del horizonte, 90° encima de su cabeza).

La altitud mínima, como es lógico se da en la fecha del solsticio del sur, el 22 de diciembre; 56,6° a las 11:34.

Como dijimos, la altitud máxima se da durante las pasadas cenitales 15 de abril; 90° a las 11:36 y el 27 de agosto, también 90° a las 11:37.

Una altitud intermedia ocurre el día del solsticio del norte, el 22 de junio; 76,5° a las 11:38.

Matemática básica con astronomía

Entreténgase un rato resolviendo las siguientes 10 preguntas.
En ellas tendrá la oportunidad de aplicar matemática básica o intermedia, de nivel preuniversitario, combinada con conceptos elementales de geografía y astronomía. 

A lo mejor no tiene que hacer ningún cálculo.
Solo lea la pregunta con cuidado, analice el planteamiento y los datos, use su intuición y un poco de lógica.
Se supone (si no he cometido algún error), que solo hay una respuesta 100 % correcta para cada pregunta.

1. Suponga que el ecuador terrestre es una circunferencia de cierto radio, que mide 40 075 km de longitud. Si se pudiera colocar una faja justamente a 1 kilómetro de altura encima del ecuador, ésta mediría aproximadamente

A. 40 150 km.

B. 40 087 km.

C. 40 081 km.

D. 40 078 km.

(El símbolo que se debe usar para kilómetros es km; no Km, ni Kmts)

2. El radio del planeta Júpiter es 11 veces el radio del planeta Tierra. Suponga una esfera hueca del radio de Júpiter, ¿cuantas Tierras cabrían dentro de esa esfera? (las puede deformar como si fueran de arcilla).

A. 11⁴.

B. 11³.

C. 11².

D. 11.

3. Si Júpiter y la Tierra se consideran esferas, usando los datos del problema anterior, la superficie de Júpiter respecto a la superficie de la Tierra es:

A. 11 veces.
B. 22 veces.
C. 33 veces.

D. 121 veces.

4. Cuando vemos un pequeño cachito brillante de Luna, también se puede observar el resto de la Luna débilmente iluminada (https://es.wikipedia.org/wiki/Luz_cenicienta). Si la luz del Sol tarda 8 min en llegar directamente a la Tierra, y de la Luna a la Tierra tarda 1 s, ¿en cuánto tiempo nos llega la luz de esa región menos iluminada, desde que salió del Sol?

A. 2 s.

B. 8 min y 1 s.

C. 8 min y 2 s.

D. 16 min y 1 s.

(Los símbolos que se deben usar para las unidades de medición “minutos” y “segundos” son respectivamente min y s).

5. Si sus ojos están a 2 m de altura sobre el nivel del mar, ¿a qué distancia aproximada de usted está el horizonte terrestre ? (https://es.wikipedia.org/wiki/Luz_cenicienta)

A. 100 km.

B. 50 km.
C. 15 km.

D. 5 km.

6. La gravedad en la Luna es 1/6 de la gravedad en la Tierra. Si su “masa” (cantidad de materia) en la Luna es 60 kg, su masa en la Tierra sería:
A. 360 kg.
B. 60 kg.
C. 10 kg.

D. 6 kg.

(el símbolo que se debe usar para la unidad de masa; el “kilogramo”, es kg, no Kg, ni kgr, tampoco kgrs).

7. La Tierra está en promedio a una unidad astronómica del Sol, unos 150 millones de kilómetros y tarda 1 año en dar una revolución alrededor de esta estrella. Suponga que hay un planeta que está a dos unidades astronómicas del Sol, entonces en esa órbita ese planeta daría una vuelta alrededor del Sol en:

A. 8,0 años.

B. 2,8 años.
C. 2,0 años.

D. 1,6 años.

8. La densidad de un cuerpo homogéneo es 5,51 g/cm³ (la densidad promedio de la Tierra). Entonces la densidad de la mitad del volumen de ese cuerpo es:
A. 11,02 g/cm³.

B. 5,51 g/cm³.

C. 2,76 g/cm³

C. 0,362 g/cm³.

9. Un cometa que viaja a cierta velocidad constante, recorre 1000 km en un
cierto tiempo. Otro cometa que viaja al doble de esa velocidad, recorre en la mitad de ese tiempo, una distancia de:
A. 1000 km.

B. 2000 km.

C. 500 km.

D. 250 km.

10. Para viajar a la estrella más cercana; “PróximaCentauri”;

A. Tardaríamos 4,2 años luz

B. Se debe recorrer una distancia de 4,2 años.

C. Se debe recorrer una distancia de 1 260 000 km.

D. Tardaríamos 4,2 años.

Si requiere una aclaración sobre las preguntas, o conversar sobre las posibles respuestas, envíeme un comentario, o escriba a villalobosjosealberto@gmail.com

Respuestas aquí (comentarios) en una semana.

Curiosidades matemáticas del orto del Sol

El orto del Sol ocurrió hace tres minutos

El cuadro que sigue abajo muestra la hora de orto del Sol (columnas 2 y 6), para ciertas fechas del año (columnas 1 y 5), junto con el respectivo acimut (3 y 7). Las horas del orto (salida por el horizonte oriental), se dan para la latitud promedio de Costa Rica (10° Norte).
También se muestra en la columna central (4) la declinación del Sol; a la izquierda para las fechas del 22/03 al 15/09, y a la derechas para el 22/09 al 15/03.

Fecha	Hora (C.R.)	Acimut	Declinación del Sol	Fecha	Hora (C.R.)	Acimut
22/ mar	05:39	90° (Este)	+0:0°/ -0,0°	22/ set	05:25	90°
29	05:35	86°		29	05:25	92°
01/ abr	05:33	85°		01/ oct	05:24	93°
08	05:29	82°		08	05:24	93°
15	05:25	80°	+10°/	15	05:24	99°
22	05:22	77°		22	05:25	102
29	05:19	75°		29	05:26	104°
01/ may	05:19	74°		01/ nov	05:26	105°
08	05:16	72°		08	05:28	107°
15	05:15	70°		15	05:30	109°
22	05:14	69°	+10°/	22	05:33	110°
29	05:14	68°		29	05:36	112°
01/ jun	05:14	67°		01/ dic	05:37	112°
08	05:14	67°		08	05:41	113°
15	05:15	66°		15	05:45	113°
22	05:17	66°	+23,5°/ -23,5°	22	05:48	114°
29	05:18	66°		29	05:51	113°
01/ jul	05:19	66°		01/ ene	05:53	113°
08	05:21	67°		08	05:55	113°
15	05:22	68°		15	05:57	112°
22	05:24	70°		22	05:58	110°
29	05:25	71°		29	05:58	108°
01/ ago	05:26	72°		01/ feb	05:58	107°
08	05:21	74°		08	05:57	105°
15	05:22	76°		15	05:55	103°
22	05:24	78°		22	05:53	100°
29	05:25	81°		28	05:50	98°
01/ set	05:27	82°		01/ mar	05:50	97°
08	05:26	84°		08	05:47	95°
15	05:26	86°		15	05:43	92°

Antes de comentar las curiosidades matemáticas, recordemos algunas definiciones:

El orto del Sol es el instante en que el limbo superior del Sol aparece exactamente en el horizonte, en la mañana. Este instante depende de la latitud del observador y, desde luego, como se aprecia en el cuadro, de la fecha. 

Aclaro que en este caso no me refiero a todo el proceso de salida del disco solar, que puede tardar poco más de dos minutos.

La hora anotada, no es la hora que le mostraría un "reloj de sol", sin ajustes ni correcciones, sino la hora de su reloj, esto es, la hora oficial de Costa Rica (Tiempo Universal Coordinado - 6 horas).
Sin embargo, estas horas calculadas le serán de mucha utilidad si desea hacer sus propias mediciones con un reloj bien calibrado.

Entonces, aquí van algunas curiosidades, si usted encuentra otras, por favor envíeme un comentario.

• Le cuento que durante mi época de escuela y colegio y quizás durante más tiempo, pensaba que el Sol salía a las 6:00, el mediodía es a las 12:00 y el ocaso a las 18:00. Es una suposición que parece aceptable, si no se analiza con conocimiento y lógica. Estimulada por la costumbre, textos escolares y hasta lemas con los que viví, como este de Radio Reloj: "...a la hora meridiana cuando el Sol está en el cenit..."
  Aclárele esto a sus hijos y nietos.
• El orto más tempranero ocurre en las inmediaciones del 29 de mayo; 05:14. El acimut es 68°, esto es, del punto Este, corrido 22° hacia el Norte.
• El orto más tardío ocurre 28 de enero; 05:58. El acimut es 110°, esto es, del punto Este corrido 20° hacia el Sur.
• Entonces el Sol no siempre sale por el Este exacto, sino que dependiendo de la fecha, el orto está corrido hacia el Norte o hacia el Sur. Este concepto equivocado aún persiste en textos ecolares y en libros de cuentos para niños, un poco desactualizados.
• Solo en los equinoccios el acimut del orto del Sol es 90°, exactamente al Este, una situación congruente con la declinación del Sol (¡cero grados!), pues está justamente cruzando el ecuador celeste.
  Las horas respectivas son 05:39 el 22 de marzo y 05:25 el 22 de setiembre.
• En los solsticios el acimut es 66° el 22 de junio y 114° el 22 de diciembre, esto es corrido 24° hacia el Norte o hacia el Sur, congruente con la declinación del Sol (+ - 23,5°) en esas fechas.
  La hora del orto del Sol es 05:17 y 05:48, respectivamente.
• En las dos pasadas cenitales, el 15 de abril y el 24 de agosto, el orto del Sol ocurre a las 05:25.
  El acimut es 80°, esto es, corrido 10° hacia el Norte, respecto al punto Este, congruente con la declinación del Sol a la feha y la latitud promedio de Costa Rica (10° Norte).
  Recuerde que en esa fecha el Sol culmina (cruza el meridiano del observador) con una altitud de 90° y  a esa hora un objeto vertical no proyecta sombra sobre una superficie horizontal.
  También que la culminación no ocurre a las 12:00, sino 24 minutos antes, ya que la longitud geográfica promedio de Costa Rica es 84° Oeste.
  
• Como referencia para hacer comparaciones, le doy la fecha aproximada del ocaso más tempranero (15-16 de diciembre; 17:11) y el ocaso más tardío (11-12 de julio; 18:01). 
  
• Finalmente, el día más largo y el día más corto del año, no tiene que coincidir con el orto más tempranero, ni con el ocaso más tardío.
  ¿Sabe en que fecha ocurre?
  http://fisica1011tutor.blogspot.com/2012/02/el-dia-mas-corto-no-coincide-con-el_21.html.

Referencias adicionales:

Ecuación del tiempo: http://cienteccrastro.blogspot.com/2009/08/ecuacion-de-tiempo.html.

¿Cansado del viejo y conocido triángulo 3 – 4 – 5?

Encontré ayer un cuaderno de un curso de geometría, que tomé, a inicios de los años 60, con el profesor Bernardo Alfaro Sagot: 
https://www.geni.com/people/Bernardo-Alfaro/4586171467000064024 .  

Bernardo Alfaro Sagot

En ese entonces, sin calculadoras, sin computadoras, sin internet, don Bernardo nos dio una lista de 18 tripletas de números que representaban los lados de triángulos pitagóricos (rectángulos), ¡disimiles!, cuyos lados eran números enteros menores que 100 (bueno menores que 109).
Como estábamos estudiando para profesores de física y matemática, don Bernardo nos dijo que los usáramos para prácticas, tareas y exámenes, para no aburrir a nuestros estudiantes.

Recuerdo que en ese tiempo teníamos "tablas de logarítmos",  reglas de cálculo, y había sumadoras (y multiplicadoras) mecánicas, pero este tipo de cálculos (o comprobaciones) había que hacerlos “a mano”, con lápiz y papel.

Hoy me encontré un sitio en la internet: https://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3rica, que tiene todo esto … y mucho más, pero ya me lo habían enseñado en 1961 y lo usé varias veces cuando enseñé matemática en el Liceo Rodrigo Facio (1964 y 1965).

En 1962 me aplacé en Trigonometría, con don Fernando Chavarría (“Triangulito”) y quedé renco con las materias del año siguiente, así que decidí buscar un trabajo tiempo parcial. Supe de una vacante en aquel Liceo, me entrevisté con el asesor de esa materia, Manuel Francisco Castellón y me envió a conversar con la directora, Lía Gómez de Brenes, quien me asignó ocho lecciones interinas de matemática, a ¢22,50 (¡mensual!) cada una.

Bueno la lista de triángulos es la siguiente, por si usted también no quiere cansar a sus estudiantes:

La primera columna es la hipotenusa, las otras dos son los catetos:
5 -     4 -3

13-   12-5

17-    15-8

25-    24- 7

29-    21- 20

37    -35 12

41-    40- 9

53 -   45 - 28

Regla de cálculo.

61 –   60 – 11

65 –   56 – 33

65 –   65 – 16

73 –   55 – 48

85 –   77 – 36

85 –   84 – 13

89 –   80 – 39

97 –   72 – 65

101 – 99 – 20

109 – 91 – 60

• https://www.mathsisfun.com/pythagorean_triples.html .
•  http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html .
• https://en.wikipedia.org/wiki/Heronian_triangle .