La Distribución Binomial y el ACUMULADO

“En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles. A uno de estos se denomina «éxito» y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, «fracaso», con una probabilidad2​ q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.” [sic]. Wikipedia.

Veamos algunos similitudes y diferencias, para un ACUMULADO (¡con reposición!):

• Si las condiciones del inicio del juego se hubiesen mantenido, con 75 bolitas “no acumulado” y una bolita “acumulado”, entonces
  p=1/75= 0,0133 = 1,33 %
  q= 1-p = 74/75= 0,09866 = 98,66 %.
• Los valores p y q deben mantenerse (tener el mismo valor, ser constantes) durante todas las veces que se realice el juego.
  Esto es a todas luces un requisito que no puede obviarse por el administrador del juego, especialmente si hay inversiones de dinero por parte de los jugadores.
• En el caso del juego "sin reposición", como el AMULADO, la probabilidad p aumenta después de cada juego y la probabilidad q disminuye.
• Supongamos que el juego se realiza con dos tipos de bolitas:
  74 bolitas iguales que representan el “fracaso”, o “no acumulado” y
  1 bolita que representa el “éxito”, o “acumulado”.
  Esta última bolita debe ser igual en todas sus características físicas a las otras 74, excepto en una, que la distingue, y podría ser un color diferente.

¿Cómo lograr eso?

Bueno se puede contratar una empresa que haga las bolitas, exigiéndole el cumplimiento de algunos parámetros, que debe definir el administrador del juego. También debe darlos a conocer a los jugadores desde antes del primer juego, por ejemplo:

• Todas las bolitas deben hacerse de un material liviano (pensando introducirlas en una tómbola) y que resistan las colisiones entre sí y contra la tómbola, por un tiempo satisfactorio para no estarlas cambiando.
  Esto es, que no se deformen ni se astillen, etc.
• Que su esfericidad sea casi perfecta (que no se deformen con el uso).
• Se especificaría un “diámetro promedio y una incertidumbre aceptable”, digamos 19,50 mm ±0,05 mm.
  Implica que solo bolitas con diámetro entre [19,45 mm y 19,55 mm] serían aceptables.
  Esto para mantener un nivel de confiabilidad en el juego, no mayor al 1% de error, que a los usuarios les agradaría mucho.
• De la misma manera se especifica un “peso promedio y su incertidumbre”, digamos 5,50 g ±0,05 g (¡gramos peso!).
  Entonces solo bolitas entre [5,45 g y 5,55 g] serían aceptables.

Supongo que se puede encontrar un fabricante que cumpla los requisitos anteriores para ese producto, puesto que por el aspecto de mediciones no hay problema, las balanzas electrónicas (digitales) y los micrómetros pueden medir milésimas de la menor división de escala.

• No olvidemos la “igualdad” o al menos similaridad de la superficie de todas las bolitas, puesto que se debe mantener las mismas condiciones de colisión entre ellas (que pueden ser más de 50 en cada juego) y con la pared de la tómbola.
  Mi sugerencia es simplemente distinguir la bolita "acumulado" de una manera no invasiva para la superficie, con un color (blanco, negro, amarillo, rojo) que quizás puede darlo la misma madera.

Ahora viene los más lo importante:

• Las tres condiciones de arriba (diámetro, peso y calidad de la superficie) las debe cumplir simultánemanete cualquier bolita, de lo contrario hay que descartarla.

Para mantener las condiciones de aplicabilidad de la distribución binomial (p y q constantes), yo tomaría otras precauciones, por ejemplo:

Comprobar si las bolitas siempre pasan de igual manera por la trampilla de salida.

Establecer un número fijo de vueltas de la tómbola, en un sentido y en otro, por ejemplo (3 y 3) para que sea ejecutado siempre por los operadores del juego.

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Ya más desde el punto de vista estadístico, no estrictamente relacionado con el juego del ACUMULADO, la distribución binomial es

Donde N es el número de veces que se realiza el juego, n₁ el número de “éxitos” y n₂ = N – n₁ el número de “fracasos”.

N! (factorial de N) es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta N. Por ejemplo, 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x 5= 120.

es la probabilidad de que en N juegos ocurran n₁ “éxitos”.

Se puede demostrar que el número promedio de “éxitos”, si el juego continuara reponiendo la bolita es:

Así que, de acuerdo con la teoría de la distribución binomial, con las probabilidades p y q establecidas al principio, habría que jugar el juego unas 75 veces, para que en promedio ocurra 1 “éxito”.
Estadísticamente el juego está bien diseñado para darle buena ventaja a "la casa”.

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Para terminar, quiero indicarle que el juego real del ACUMULADO, obedece a una distribución binomial sin reposición, pues la bolita “fracaso” no regresa a la tómbola. Eso hace más complejo su análisis.
Además, el juego termina cuando sale la bolita ACUMULADO y vuelve a iniciar en el próximo sorteo, con condiciones diferentes.

La probabilidad p de “éxito” va aumentando a medida que pasan los sorteos.
Por ejemplo, cuando queden 27 bolitas; p = 1/27 = 3,70% y q= 96,30 %.

Si llegan a quedar 10 será, p= 1/10 = 10% y q= 90%. 

Si llegan a quedar 5 será, p= 1/5 = 20% y q= 80%. 

Y si llegara a quedar una bolita, esa es la ganadora, entonces p= 1 = 100%.

Ahora no olvide que la "probabilidad" es solo una estimación matemática sobre la ocurrencia del evento.
En la realidad el evento favorable podría ocurrir a la primera vez que se realiza el sorteo, ocurrir varias veces seguidas, o quedarse hasta el final.
Todas las situaciones son igualmente posibles, siempre y cuando se mantenga "pura" la aleatoridad del juego.

Cinta de Möbius * ¡cortada! *

Esta actividad, u otra semejante, la encuentra descrita en una gran variedad de textos y en sitios de Internet. Seguro muchos de sus amigos ya la han hecho, porque es entretenida y educativa.

Pero si nada de eso le atrae, ¿qué le parece hacerla con tiras de papel satinado de colores, para adornos más ecológicos en su árbol de navidad?
August Ferdinand Möbius (1790 - 1868). (El libro de las Matemáticas; Clifford A. Pickover, página 248.)

“Una cinta de Moebius es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.
Para construir una cinta de Möbius, se toma una tira de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos antes de pegarlos” [sic] Wikipedia.

Para esta actividad le recomiendo una hoja de papel suficientemente larga y que tenga ilustraciones o color diferente de uno de sus lados.

Para hacer esta cinta de Moebius corté una tira de papel de 2 cm de ancho y le rayé el centro a uno de los lados, le di media vuelta y pegué los extremos. El resultado es la cinta de Moebius original, con una sola superficie y un solo borde (figura 1).👇
Esto lo puede comprobar fácilmente recorriendo el borde (digamos el derecho) con sus dedos, para ver que regresa al mismo punto, en una vuelta entera, por el mismo borde. 

“La cinta de Moebius solo tiene un borde”.

También note que, si inicia un recorrido (imagine una hormiga caminando) por el lado blanco de la tira de papel, regresa por el lado de color y así sucesivamente, esto es: 

“La cinta de Moebius solo tiene un lado”.

Ahora usemos una tijera para cortar la cinta de Moebius por el centro y a lo largo.

¿Qué resulta? (figura 2).
Hágalo, compruébelo y escriba una explicación.👇

Tira de dos colores, media vuelta. Cinta de Moebius.

Tira de dos colores, media vuelta, cortada por la mitad. Investigue qué resulta.

Otra variación consiste en cortar la cinta de Moebius a lo largo de una curva a una cuarta parte del ancho de la tira de papel (a 0,5 cm). Prepare entonces la tira ráyela a 0,5 cm de un lado, construya la cinta de Moebius y recorte.
¿Qué resulta? (figura 3). De una explicación.

Por último, recorte una tira de papel, marque el centro, pero de dos medias vueltas antes de pegar los extremos.

¿Es el resultado una cinta de Moebius? (figura 3).

Finalmente recorte por el centro (figura 4). ¿Qué encontró?

Tira de dos colores, dos medias vueltas. Cortada por la mitad.

Tira de dos colores, media vuelta. Cortada a una cuarta parte del ancho.

Si quiere seguir, dele a la tira de papel un número mayor de medias vueltas y recorte la cinta por la mitad o a la tercera parte del ancho.
Investigue y explique los resultados.

https://www.mcescher.com/gallery/recognition-success/mobius-strip-ii/

Matemática en astronomía básica I.

Algunas preguntas relacionadas con astronomía elemental y la manera de resolverlas con matemática básica, principalmente con conocimientos de geometría.

1. ¿A qué distancia del ojo se debe colocar una moneda de ₡ 5,00 -2012- (diámetro 21,5 mm) para que cubra exactamente la Luna o el Sol?
Suponemos que el diámetro angular de la Luna y del Sol es medio grado. Usamos la conocida relación entre el arco, el radio y el ángulo central en un círculo (s= R θ). El ángulo se debe expresar en radianes.
Entonces R= s/θ = 21, 5 mm/[05 x п/180] = 2464 mm, unos 2,5 m.
[Calculadora científica: https://web2.0calc.es/].

2. El diámetro de un globo aerostático esférico es de 13,00 m. ¿A qué distancia está de la Tierra si su diámetro angular es la mitad que el de la Luna?
De nuevo s= R θ. 13 = R(0,25 x п/180), de donde R= 2978 m, unos 3 km.

3. ¿A qué hora, aproximadamente, sale una estrella (orto) que hace un mes salió a las 10 de la noche?
Aplique la conocida relación que usamos los que observamos la esfera celeste: “Las estrellas salen por el oriente 1 hora más temprano cada 15 días”. Esto es consecuencia de que la Tierra rota 15 grados por hora (360°/24 horas) y a la vez se traslada aproximadamente 1 grado por día (360°/365,25 días).
Entonces esas estrellas salen a las 8 de la noche.

4. La latitud de San José es φ= 9° 56’ norte. Determine la distancia angular del punto del cenit en San José, al polo norte celeste.
“La altitud del polo norte celeste es igual a la latitud geográfica del observador”.
Se demuestra fácilmente con un diagrama usando el hecho de que –dos ángulos que tienen sus lados respetivamente perpendiculares, son iguales-. En este caso; 9° 56’. Como la altitud del cenit es 90° (por definición), entonces su distancia angular respecto al polo norte celeste es 90° – (9° 56’) = 80° 04’.

5. ¿En cuáles dos casos la altura de una estrella por encima del horizonte, no cambia con el transcurso del día?
a) El observador se encuentra en cualquiera de los dos polos geográficos de la Tierra. En ese caso todas las estrellas del hemisferio visible, se mueven a lo largo de paralelos al ecuador. b) La estrella se encuentra en el Polo Norte Celeste (casi “Polaris”), o en el Polo Sur Celeste.

6. ¿Cómo se sitúa la eclíptica con respecto al horizonte, en el polo norte?
Es un círculo máximo inclinado 23,5°respecto al horizonte (en este caso la recta tangente a la esfera terrestre, que pasa por el polo geográfico de la Tierra.

7. ¿Cuáles son los ángulos máximo y mínimo formados por la eclíptica, con el horizonte de Los Chiles, Alajuela (φ= 11° 02’ norte)?
90°- φ ± 23,5°. El ángulo máximo es 102° 28’, y el mínimo es 55°28’.

8. ¿En qué condiciones el polo de la eclíptica coincide con el cenit del observador?

En los dos círculos polares. En el ártico en el momento de la salida (orto) del Punto Vernal y en el antártico en el momento de su puesta (ocaso).

9. ¿En qué punto de la Tierra la eclíptica puede coincidir con el horizonte y cuándo ocurre esto?

10. ¿Qué ángulo forma la eclíptica con el horizonte en el momento de la puesta (ocaso) del “Primer Punto Aries” (Punto Vernal), para un observador que se encuentra en Naranjo, Alajuela (10° 06’ 00” norte)?

11. ¿Qué ángulo forma la eclíptica con el horizonte en el momento de la salida (orto) del punto vernal, para la latitud 55° norte? ¿En el momento de la puesta (ocaso) de ese punto? ¿Lo mismo para la latitud 66,5°norte?

12. Determine la distancia lineal BC) entre dos estrellas que se hallan a las distancias a y b de nosotros y se ven en el cielo separadas una distancia angular θ?
Utilizamos el conocido “teorema de cosenos”.
(BC)² = (a)² + (b)² – 2 (a)(b)cosθ.

Graficador de funciones

En mi curso de Cálculo I, con el ingeniero Francisco Ramírez en 1962, hacer gráficas de funciones era una parte importante.

Sacábamos los ceros de la función, encontrábamos máximos y mínimos, puntos de inflexión, sentidos de concavidad, ámbitos donde era creciente o decreciente, asímptotas, límites y continuidad; y con todo esto se hacía una gráfica aproximada de la función (en papel milimétrico), que a mi juicio, en aquel entonces, la describía bastante bien. 

Este ejercicio era un problema infaltable en los exámenes y don Francisco siempre nos salía con una interesante función que nunca antes habíamos visto. No sé si éste tipo de actividad continúa en esos cursos, pero aunque ahora hay calculadoras y otros equipos que hacen gráficas, es interesante saber cómo se hace; el aprendizaje con Ramírez aún no se me ha olvidado.

Hace unos días, mi amiga Marie Lissette Alvarado, me envió unas imágenes de Pinterest, donde con gráficas de funciones se podía visualizar un corazón y simular las letras de algunas palabras.

Entonces busqué en la Internet sitios que ofrecieran hacer gráficas de funciones y encontré dos que me satisfacen, pero de seguro hay más, ajustadas a sus necesidades:

• Graficador de funciones matemáticas MAFA: (https://www.mathe-fa.de/es).
  Puede hacer la gráfica de cuatro funciones de una variable; y = f(x), en la misma “hoja” (pantalla). Por ejemplo:
   f(x) = 1/x, g(x) =sqrt(9-x^2), h(x) = -3*|sin(x)|, i(x) = sqrt(1-abs(x)-1)².
  Además, acompaña la gráfia con una tabla de valores.
• Graficador de funciones Wolfram Alpha: (http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=653c579e3f9ba5c03f2f2f8cf4512b39), (https://www.wolframalpha.com/examples/math/plotting-and-graphics/).
  Tiene la ventaja de que acepta ecuaciones de dos variable, desigualdades, gráficas en 3 dimensiones, polares, ecuaciones paramétricas, etc, por ejemplo:
  x² + y² = 9,     |x|^3+|y|^3<1.

Cardioide: http://mathworld.wolfram.com/Cardioid.html

A través de la Tierra en 42 minutos

La primera vez que entré en contacto con esta idea de ciencia ficción, fue en 1966, cuando estudiaba Física, en la Universidad de Texas, en Austin.

Hyperphysics

La encontré en un artículo de la revista The Physics Teacher, pero ahora, si digita el título de esta entrada en un buscador de Internet, encontrará más de una decena sitios en los cuales se describe.

La situación es la siguiente:

• Suponga que se pueden resolver todas los problemas geológicos, termodinámicos, de ingeniería, etc., para hacer un túnel de un lado a otro de la Tierra, -pasando por el centro-.
• Suponga además que la densidad de la Tierra es constante. ¡No lo es! Sin embargo, esta suposición hace que el campo gravitatorio (ficticio), dentro de ella tenga un comportamiento simple, será una función lineal de la distancia al centro de la Tierra, únicamente.
  
  Entonces es fácil probar que en la superficie es máximo (GM/R²), que en el centro es nulo y en cualquier otro punto interior es (GM/R³)r, donde r es la distancia al centro de la Tierra. Además que está dirigido a lo largo del túnel y siempre con dirección hacia el centro.

Las constantes que necesita son:

• Constante de gravitación universal, G = 6,674x10^-11 Nm²/kg².
• Masa de la Tierra, M = 5,972 x 10²⁴ kg.
• Radio promedio de la Tierra, R = 6,371 x10⁶ m.

Resulta que si se deja caer un cuerpo, digamos que “un paquete de correo”, en uno de los extremos de ese túnel, aquel se mueve hacia el centro de la Tierra, cada vez más rápido, pasa por dicho punto con velocidad máxima y continúa hacia el extremo opuesto con velocidad decreciente. 

Al llegar allí queda momentáneamente en reposo y se devuelve.

El movimiento del “paquete”, se vuelve repetitivo, idealmente sin perdida de energía, de manera similar a como lo haría un cuerpo de masa (m) colgado de un resorte lineal (F = -k x). Ejecutaría lo que los físicos llaman movimiento armónico simple.

Para encontrar los 42 minutos del semiperíodo de este movimiento, basta con resolver la ecuación de movimiento (GM/R³)r = -d²r/dt², que es una ecuación diferencial de orden 2. El signo negativo se usa para expresar que la fuerza (y la aceleración), siempre son de dirección opuesta al desplazamiento.

Sin embargo, vamos a usar la analogía entre el movimiento circular con rapidez constante y su proyección  sobre una recta vertical (el diámetro del círculo).
Si ponemos atención a la "sombra proyectada" sobre el diámetro, resulta que vemos un movimiento oscilatorio de arriba a abajo, similar al que ocurre con el "paquete" que va de un punto a otro, através de la Tierra.

Así el problema se resuelve de una manera más sencilla, con simple álgebra y conocimientos básicos de movimiento circular con rapidez constante y gravitación, como los que se estudian en décimo año en nuestros colegios. 

Se iguala la fuerza gravitacional (fuerza centrípeta) a su expresión dinámica:

• GMm/R² = mv²/R

Y la relación entre la velocidad tangencial (v) y el período (T) del movimiento: 

• v = 2 π R/T

Resulta luego de hacer las sustituciones y simplificaciones:

• T² = [4 π²/GM] R³

Que en realidad es la Tercera Ley de Kepler.

Esta ecuación es aplicable a cualquier planeta esferoidal con una supuesta densidad constante. Puede aplicarse a Mercurio, Venus, Marte, o incluso a la Luna.

La masa (M) y el radio (R) de estos cuerpos, puede encontrarlos en un cuadro de datos del Sistema Solar. 

No olvide sacar la raíz cuadrada, dividir entre 2 para obtener el tiempo de un viaje de ida, y dividirlo por 60, ya que el resultado de la ecuación estará en segundos.

Matemática modular en el código ISBN

Busque en la contraportada de alguno de sus libros, o también en la página interior que contiene los créditos, el número ISBN (International Standard Book Number), que hasta el 31 de diciembre de 2006 tenía 10 dígitos, pero luego de esa fecha fue reformado para tener 13 dígitos.

Por ejemplo, mi libro del 2002 “Guía Mensual de Estrellas y Constelaciones” tiene asociado el ISBN 9977-12-646-1, pero “Los demonios de Occator” que publiqué en el 2017, conjuntamente con Marie Lissete Alvarado, tiene el ISBN 978-9930-539-30-9.

“El ISBN se emplea para identificar cada libro, como si fuera su cédula de identidad, al registrar el título, edición, editor, tiraje, extensión, materia, país, lengua original, etc. También para sistematizar la producción editorial de cada país, al proveer los elementos que hacen posibles las estadísticas" (https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN).

Todos los números ISBN son sorprendentes, especiales; que usan una interesante propiedad matemática para identificar los libros, empleando un código que -permite detectar errores-.

Se lo explicaré usando el ISBN 9977-986-66-5, de mi libro “Física 11”, publicado en 1994.

Escribí el ISBN en forma vertical en la primera columna de la tabla adjunta, los números 1 a 10 (multiplicadores) en la segunda, y en la tercera los productos de las dos filas.

El cálculo de la suma de los diez productos es 363, que es divisible por 11.

No importa el libro que usted examine, si fue publicado antes del 2007, el total de los productos siempre será divisible por 11 (módulo 11).
https://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_modular.

El ISBN tiene cuatro partes: 

• el código de país o lengua de origen, 
• el editor, 
• el número del artículo y 
• un dígito de control.

El código está diseñado para detectar errores porque los dígitos siguen un patrón: sólo los nueve primeros contienen la información sobre el libro; el décimo se incluyó para verificar que el producto total que sale del ISBN sea divisible por 11.

Para los libros publicados del 1 de enero de 2007 en adelante, debe verificar que el producto total sea divisible por 10 (módulo 10).

“El dígito de control de un ISBN de trece cifras se calcula de un modo diferente al del ISBN de 10 cifras, con un cálculo basado en el módulo 10: multiplicando el primero de los 12 números iniciales por 1, el segundo por 3, el tercero por 1, el cuarto por 3, y así sucesivamente hasta llegar al número 12; el dígito de control es el valor que se debe añadir a la suma de todos estos productos para hacerla divisible por 10. (Por ejemplo si la suma es 97, el dígito de control es 3, porque 97 + 3 = 100, que es divisible por 10; si la suma es 86, el dígito de control será 4; si suman 120, será 0; y así en cualquier otro caso.” sic https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN#El_ISBN_de_trece_d%C3%Adgitos. 
De manera más simple:

suma de las cifras de lugares impares + 3(suma de las cifras de lugares pares),
debe ser siempre un múltiplo de 10. 

Si le parece para tener una práctica divertida con un aprendizaje, haga lo siguiente:

• Anote los números ISBN de algunos de sus libros, especialmente si son de su autoría y verifique que están correctos (no tienen errores).
  Si se publicaron antes de 2007 siga el procedimiento que yo ilustré (módulo 11), si son posteriores siga el procedimiento delineado arriba (módulo 10).
• Compruebe que si asocio este número ISBN; 978-9930-593-31-6, a mi libro “Tus fotos sin una cámara”, cometí un error al escribir el código:

9x1+7x3+8x1+9x3+9x1+3x3+0x1+5x3+9x1+3x3+3x1+1x3+6x1 =…?

Referencias adicionales:

• https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:ISBN_por_pa%C3%ADs .
• https://www.isbn-international.org/content/what-isbn .
• http://www.sinabi.go.cr/bibliotecas/agencias%20isbn-issn/Estadisticas%20ISBN%20por%20Linea%20tematica%202014.pdf .
• https://www.xatakaciencia.com/matematicas/los-secretos-del-isbn-el-numero-que-aparece-en-cualquier-libro .
• https://es.wikipedia.org/wiki/European_Article_Number .
• http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/digitocontrol/DigitoControl.htm .
• http://web2.0calc.com/.