A través de la Tierra en 42 minutos

La primera vez que entré en contacto con esta idea de ciencia ficción, fue en 1966, cuando estudiaba Física, en la Universidad de Texas, en Austin.

Hyperphysics

La encontré en un artículo de la revista The Physics Teacher, pero ahora, si digita el título de esta entrada en un buscador de Internet, encontrará más de una decena sitios en los cuales se describe.

La situación es la siguiente:

• Suponga que se pueden resolver todas los problemas geológicos, termodinámicos, de ingeniería, etc., para hacer un túnel de un lado a otro de la Tierra, -pasando por el centro-.
• Suponga además que la densidad de la Tierra es constante. ¡No lo es! Sin embargo, esta suposición hace que el campo gravitatorio (ficticio), dentro de ella tenga un comportamiento simple, será una función lineal de la distancia al centro de la Tierra, únicamente.
  
  Entonces es fácil probar que en la superficie es máximo (GM/R²), que en el centro es nulo y en cualquier otro punto interior es (GM/R³)r, donde r es la distancia al centro de la Tierra. Además que está dirigido a lo largo del túnel y siempre con dirección hacia el centro.

Las constantes que necesita son:

• Constante de gravitación universal, G = 6,674x10^-11 Nm²/kg².
• Masa de la Tierra, M = 5,972 x 10²⁴ kg.
• Radio promedio de la Tierra, R = 6,371 x10⁶ m.

Resulta que si se deja caer un cuerpo, digamos que “un paquete de correo”, en uno de los extremos de ese túnel, aquel se mueve hacia el centro de la Tierra, cada vez más rápido, pasa por dicho punto con velocidad máxima y continúa hacia el extremo opuesto con velocidad decreciente. 

Al llegar allí queda momentáneamente en reposo y se devuelve.

El movimiento del “paquete”, se vuelve repetitivo, idealmente sin perdida de energía, de manera similar a como lo haría un cuerpo de masa (m) colgado de un resorte lineal (F = -k x). Ejecutaría lo que los físicos llaman movimiento armónico simple.

Para encontrar los 42 minutos del semiperíodo de este movimiento, basta con resolver la ecuación de movimiento (GM/R³)r = -d²r/dt², que es una ecuación diferencial de orden 2. El signo negativo se usa para expresar que la fuerza (y la aceleración), siempre son de dirección opuesta al desplazamiento.

Sin embargo, vamos a usar la analogía entre el movimiento circular con rapidez constante y su proyección  sobre una recta vertical (el diámetro del círculo).
Si ponemos atención a la "sombra proyectada" sobre el diámetro, resulta que vemos un movimiento oscilatorio de arriba a abajo, similar al que ocurre con el "paquete" que va de un punto a otro, através de la Tierra.

Así el problema se resuelve de una manera más sencilla, con simple álgebra y conocimientos básicos de movimiento circular con rapidez constante y gravitación, como los que se estudian en décimo año en nuestros colegios. 

Se iguala la fuerza gravitacional (fuerza centrípeta) a su expresión dinámica:

• GMm/R² = mv²/R

Y la relación entre la velocidad tangencial (v) y el período (T) del movimiento: 

• v = 2 π R/T

Resulta luego de hacer las sustituciones y simplificaciones:

• T² = [4 π²/GM] R³

Que en realidad es la Tercera Ley de Kepler.

Esta ecuación es aplicable a cualquier planeta esferoidal con una supuesta densidad constante. Puede aplicarse a Mercurio, Venus, Marte, o incluso a la Luna.

La masa (M) y el radio (R) de estos cuerpos, puede encontrarlos en un cuadro de datos del Sistema Solar. 

No olvide sacar la raíz cuadrada, dividir entre 2 para obtener el tiempo de un viaje de ida, y dividirlo por 60, ya que el resultado de la ecuación estará en segundos.