sábado, 6 de octubre de 2018

La Distribución Binomial y el ACUMULADO

“En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles. A uno de estos se denomina «éxito» y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, «fracaso», con una probabilidad2 q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.” [sic]. Wikipedia.

Veamos algunos similitudes y diferencias, para un ACUMULADO (¡con reposición!):
  • Si las condiciones del inicio del juego se hubiesen mantenido, con 75 bolitas “no acumulado” y una bolita “acumulado”, entonces
    p=1/75= 0,0133 = 1,33 %
    q= 1-p = 74/75= 0,09866 = 98,66 %.
  • Los valores p y q deben mantenerse (tener el mismo valor, ser constantes) durante todas las veces que se realice el juego.
    Esto es a todas luces un requisito que no puede obviarse por el administrador del juego, especialmente si hay inversiones de dinero por parte de los jugadores.
  • En el caso del juego "sin reposición", como el AMULADO, la probabilidad p aumenta después de cada juego y la probabilidad q disminuye.
  • Supongamos que el juego se realiza con dos tipos de bolitas:
    74 bolitas iguales que representan el “fracaso”, o “no acumulado” y
    1 bolita que representa el “éxito”, o “acumulado”.
    Esta última bolita debe ser igual en todas sus características físicas a las otras 74, excepto en una, que la distingue, y podría ser un color diferente
    .

¿Cómo lograr eso?
Bueno se puede contratar una empresa que haga las bolitas, exigiéndole el cumplimiento de algunos parámetros, que debe definir el administrador del juego. También debe darlos a conocer a los jugadores desde antes del primer juego, por ejemplo:
  • Todas las bolitas deben hacerse de un material liviano (pensando introducirlas en una tómbola) y que resistan las colisiones entre sí y contra la tómbola, por un tiempo satisfactorio para no estarlas cambiando.
    Esto es, que no se deformen ni se astillen, etc.
  • Que su esfericidad sea casi perfecta (que no se deformen con el uso).
  • Se especificaría un “diámetro promedio y una incertidumbre aceptable”, digamos 19,50 mm ±0,05 mm.
    Implica que solo bolitas con diámetro entre [19,45 mm y 19,55 mm] serían aceptables.
    Esto para mantener un nivel de confiabilidad en el juego, no mayor al 1% de error, que a los usuarios les agradaría mucho.
  • De la misma manera se especifica un “peso promedio y su incertidumbre”, digamos 5,50 g ±0,05 g (¡gramos peso!).
    Entonces solo bolitas entre [5,45 g y 5,55 g] serían aceptables.

Supongo que se puede encontrar un fabricante que cumpla los requisitos anteriores para ese producto, puesto que por el aspecto de mediciones no hay problema, las balanzas electrónicas (digitales) y los micrómetros pueden medir milésimas de la menor división de escala.
  • No olvidemos la “igualdad” o al menos similaridad de la superficie de todas las bolitas, puesto que se debe mantener las mismas condiciones de colisión entre ellas (que pueden ser más de 50 en cada juego) y con la pared de la tómbola.
    Mi sugerencia es simplemente distinguir la bolita "acumulado" de una manera no invasiva para la superficie, con un color (blanco, negro, amarillo, rojo) que quizás puede darlo la misma madera.
Ahora viene los más lo importante:

  • Las tres condiciones de arriba (diámetro, peso y calidad de la superficie) las debe cumplir simultánemanete cualquier bolita, de lo contrario hay que descartarla.
Para mantener las condiciones de aplicabilidad de la distribución binomial (p y q constantes), yo tomaría otras precauciones, por ejemplo:

Comprobar si las bolitas siempre pasan de igual manera por la trampilla de salida.

Establecer un número fijo de vueltas de la tómbola, en un sentido y en otro, por ejemplo (3 y 3) para que sea ejecutado siempre por los operadores del juego.

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Ya más desde el punto de vista estadístico, no estrictamente relacionado con el juego del ACUMULADO, la distribución binomial es


Donde N es el número de veces que se realiza el juego, n1 el número de “éxitos” y n2 = N – n1 el número de “fracasos”.
N! (factorial de N) es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta N. Por ejemplo, 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x 5= 120.

es la probabilidad de que en N juegos ocurran n1 “éxitos”.

Se puede demostrar que el número promedio de “éxitos”, si el juego continuara reponiendo la bolita es:




Así que, de acuerdo con la teoría de la distribución binomial, con las probabilidades p y q establecidas al principio, habría que jugar el juego unas 75 veces, para que en promedio ocurra 1 “éxito”.
Estadísticamente el juego está bien diseñado para darle buena ventaja a "la casa”.

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Para terminar, quiero indicarle que el juego real del ACUMULADO, obedece a una distribución binomial sin reposición, pues la bolita “fracaso” no regresa a la tómbola. Eso hace más complejo su análisis.
Además, el juego termina cuando sale la bolita ACUMULADO y vuelve a iniciar en el próximo sorteo, con condiciones diferentes.

La probabilidad p de “éxito” va aumentando a medida que pasan los sorteos.
Por ejemplo, cuando queden 27 bolitas; p = 1/27 = 3,70% y q= 96,30 %.
Si llegan a quedar 10 será, p= 1/10 = 10% y q= 90%. 
Si llegan a quedar 5 será, p= 1/5 = 20% y q= 80%. 
Y si llegara a quedar una bolita, esa es la ganadora, entonces p= 1 = 100%.

Ahora no olvide que la "probabilidad" es solo una estimación matemática sobre la ocurrencia del evento.
En la realidad el evento favorable podría ocurrir a la primera vez que se realiza el sorteo, ocurrir varias veces seguidas, o quedarse hasta el final.
Todas las situaciones son igualmente posibles, siempre y cuando se mantenga "pura" la aleatoridad del juego.

lunes, 1 de octubre de 2018

Cinta de Möbius * ¡cortada! *

Esta actividad, u otra semejante, la encuentra descrita en una gran variedad de textos y en sitios de Internet. Seguro muchos de sus amigos ya la han hecho, porque es entretenida y educativa.

Pero si nada de eso le atrae, ¿qué le parece hacerla con tiras de papel satinado de colores, para adornos más ecológicos en su árbol de navidad?


August Ferdinand Möbius (1790 - 1868). (El libro de las Matemáticas; Clifford A. Pickover, página 248.)
“Una cinta de Moebius es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.
Para construir una cinta de Möbius, se toma una tira de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos antes de pegarlos
[sic] Wikipedia.

Para esta actividad le recomiendo una hoja de papel suficientemente larga y que tenga ilustraciones o color diferente de uno de sus lados.

Para hacer esta cinta de Moebius corté una tira de papel de 2 cm de ancho y le rayé el centro a uno de los lados, le di media vuelta y pegué los extremos. El resultado es la cinta de Moebius original, con una sola superficie y un solo borde (figura 1).👇
Esto lo puede comprobar fácilmente recorriendo el borde (digamos el derecho) con sus dedos, para ver que regresa al mismo punto, en una vuelta entera, por el mismo borde. 
“La cinta de Moebius solo tiene un borde”.

También note que, si inicia un recorrido (imagine una hormiga caminando) por el lado blanco de la tira de papel, regresa por el lado de color y así sucesivamente, esto es: 
“La cinta de Moebius solo tiene un lado”.

Ahora usemos una tijera para cortar la cinta de Moebius por el centro y a lo largo.
¿Qué resulta? (figura 2).
Hágalo, compruébelo y escriba una explicación.👇

Tira de dos colores, media vuelta.
Cinta de Moebius.
Tira de dos colores, media vuelta, cortada por la mitad. Investigue qué resulta.

Otra variación consiste en cortar la cinta de Moebius a lo largo de una curva a una cuarta parte del ancho de la tira de papel (a 0,5 cm). Prepare entonces la tira ráyela a 0,5 cm de un lado, construya la cinta de Moebius y recorte.
¿Qué resulta? (figura 3). De una explicación.

Por último, recorte una tira de papel, marque el centro, pero de dos medias vueltas antes de pegar los extremos.
¿Es el resultado una cinta de Moebius? (figura 3).

Finalmente recorte por el centro (figura 4). ¿Qué encontró?

Tira de dos colores, dos medias vueltas.
Cortada por la mitad.


Tira de dos colores, media vuelta.
Cortada a una cuarta parte del ancho.


Si quiere seguir, dele a la tira de papel un número mayor de medias vueltas y recorte la cinta por la mitad o a la tercera parte del ancho.
Investigue y explique los resultados.
https://www.mcescher.com/gallery/recognition-success/mobius-strip-ii/