sábado, 3 de marzo de 2018

3 , 14 (marzo 14), día de "Pi"

En los países que usan la nomenclatura “mes, día año”, para el calendario, como en los Estados Unidos, se recuerda el día 14 de marzo, a la constante universal ϖ (https://en.wikipedia.org/wiki/Pi).

El concepto más sencillo que tenemos de esta constante es "el número de veces que el diámetro de un círculo cabe en su circunferencia."

Posiblemente los pueblos antiguos descubrieron esta constante, relacionándola con el diámetro de la rueda de un carro y lo que se desplazaba el vehículo.
El matemático galés William Jones introdujo el símbolo ϖ en 1706, seguro por la palabra griega perímetro (περίμετρος).

Comprobar esto, hasta cierto grado de aproximación, no es difícil, hágalo y se convencerá. 
Simplemente trace en una hoja de papel (con mucho cuidado) un círculo de cierto radio, usando el método del cordel el lápiz y el chinche.
Si el cordel mide, por ejemplo 10,0 cm de radio (mídalo con exactitud  y precisión, pero encontrará que funciona para cualquier longitud), encontrará que si luego lo coloca (con mucho cuidado), a lo largo de la circunferencia, cabrá en ella 3 veces y "un poco más" de una octava parte (3,14 veces). 


Bueno, si le parece el "poco más" puede ser un cierto número de cifras a escoger como : {\displaystyle \pi \approx 3.14159265358979323846\;\dots }, pero para propósitos cotidianos, generalmente basta con 3,14.


ϖ es un número irracional y no puede ser representado exactamente como una fracción común
Sin embargo,

22/7 = 3.1428571428, puede usarse para obtener resultados satisfactorios.




Posiblemente desde sus años intermedios de escuela, usted se encontró con esta interesante cantidad, ya que la longitud de la circunferencia y su área se calculan multiplicando ϖ por otras cantidades, una de ellas la que determina el tamaño de esa figura geométrica, como lo detallo en la tabla, abajo.

Si tuvo buenos profesores de Matemática, quizás en el Colegio se topó con esferas y conos, cuyas áreas y volúmenes también se calculan con la intervención de ϖ.

Tropecé con la elipse hasta en mis años de universidad, pero puede que usted haya tenido más suerte.

Al fin y al cabo más de setenta años de “progreso”, deben haber cambiado algo las cosas, para bien. Bueno, quizás no, pues no me acuerdo que en la Escuela República de Colombia, ni en el Colegio de Naranjo, le tuviésemos miedo (mucho menos fobia) a la matemática, y esto que en 1955 ni la palabra psicólogo era conocida por nosotros o nuestros padres.


Tampoco teníamos calculadora, sólo lápiz, papel y “tablas usuales”. Conocí la “regla de cálculo” en la Universidad de Costa Rica, en 1962 y la calculadora científica llegó hasta 1970.

Círculo


Circunferencia: C= 2 ϖ R

Área del círculo: A = ϖ RR




Esfera




Cono
Cono truncado
Elipse







ϖ  no solo aparece en el campo de la geometría, sino también en muchos campos de la matemática, y también en ciencia, especialmente en Física, pero de eso le contaré en una próxima entrada.
Referencias adicionales:
http://www.businessinsider.com/most-important-numbers-2012-7.

lunes, 22 de enero de 2018

Graficador de funciones

En mi curso de Cálculo I, con el ingeniero Francisco Ramírez en 1962, hacer gráficas de funciones era una parte importante.

Sacábamos los ceros de la función, encontrábamos máximos y mínimos, puntos de inflexión, sentidos de concavidad, ámbitos donde era creciente o decreciente, asímptotas, límites y continuidad; y con todo esto se hacía una gráfica aproximada de la función (en papel milimétrico), que a mi juicio, en aquel entonces, la describía bastante bien. 

Este ejercicio era un problema infaltable en los exámenes y don Francisco siempre nos salía con una interesante función que nunca antes habíamos visto. No sé si éste tipo de actividad continúa en esos cursos, pero aunque ahora hay calculadoras y otros equipos que hacen gráficas, es interesante saber cómo se hace; el aprendizaje con Ramírez aún no se me ha olvidado.

Hace unos días, mi amiga Marie Lissette Alvarado, me envió unas imágenes de Pinterest, donde con gráficas de funciones se podía visualizar un corazón y simular las letras de algunas palabras.

Entonces busqué en la Internet sitios que ofrecieran hacer gráficas de funciones y encontré dos que me satisfacen, pero de seguro hay más, ajustadas a sus necesidades:

martes, 16 de enero de 2018

A través de la Tierra en 42 minutos

La primera vez que entré en contacto con esta idea de ciencia ficción, fue en 1966, cuando estudiaba Física, en la Universidad de Texas, en Austin.
Hyperphysics

La encontré en un artículo de la revista
 The Physics Teacher, pero ahora, si digita el título de esta entrada en un buscador de Internet, encontrará más de una decena sitios en los cuales se describe.
La situación es la siguiente:
  • Suponga que se pueden resolver todas los problemas geológicos, termodinámicos, de ingeniería, etc., para hacer un túnel de un lado a otro de la Tierra, -pasando por el centro-.
  • Suponga además que la densidad de la Tierra es constante. ¡No lo es! Sin embargo, esta suposición hace que el campo gravitatorio (ficticio), dentro de ella tenga un comportamiento simple, será una función lineal de la distancia al centro de la Tierra, únicamente.

    E
    ntonces es fácil probar que en la superficie es máximo (GM/R2), que en el centro es nulo y en cualquier otro punto interior es (GM/R3)r, donde r es la distancia al centro de la Tierra. Además que está dirigido a lo largo del túnel y siempre con dirección hacia el centro.

Las constantes que necesita son:
  • Constante de gravitación universal, G = 6,674x10-11 Nm2/kg2.
  • Masa de la Tierra, M = 5,972 x 1024 kg.
  • Radio promedio de la Tierra, R = 6,371 x106 m.


Resulta que si se deja caer un cuerpo, digamos que “un paquete de correo”, en uno de los extremos de ese túnel, aquel se mueve hacia el centro de la Tierra, cada vez más rápido, pasa por dicho punto con velocidad máxima y continúa hacia el extremo opuesto con velocidad decreciente. Al llegar allí queda momentáneamente en reposo y se devuelve.

El movimiento del “paquete”, se vuelve repetitivo, idealmente sin perdida de energía, de manera similar a como lo haría un cuerpo de masa (m) colgado de un resorte lineal (F = -k x). Ejecutaría lo que los físicos llaman movimiento armónico simple.

Para encontrar los 42 minutos del semiperíodo de este movimiento, basta con resolver la ecuación de movimiento (GM/R3)r = -d2r/dt2, que es una ecuación diferencial de orden 2. El signo negativo se usa para expresar que la fuerza (y la aceleración), siempre son de dirección opuesta al desplazamiento.

Sin embargo, vamos a usar la analogía entre el movimiento circular con rapidez constante y su proyección  sobre una recta vertical (el diámetro del círculo).
Si ponemos atención a la "sombra proyectada" sobre el diámetro, resulta que vemos un movimiento oscilatorio de arriba a abajo, similar al que ocurre con el "paquete" que va de un punto a otro, através de la Tierra.


Así el problema se resuelve de una manera más sencilla, con simple álgebra y conocimientos básicos de movimiento circular con rapidez constante y gravitación, como los que se estudian en décimo año en nuestros colegios. 


Se iguala la fuerza gravitacional (fuerza centrípeta) a su expresión dinámica:

GMm/R2 = mv2/R

Y la relación entre la velocidad tangencial (v) y el período (T) del movimiento: v = 2 π R/T


Resulta luego de hacer las sustituciones y simplificaciones:

T2 = [4 π2/GM] R3, que en realidad es la Tercera Ley de Kepler.

Esta ecuación es aplicable a cualquier planeta esferoidal con una supuesta densidad constante. 


Puede aplicarse a Mercurio, Venus, Marte, o incluso la Luna.
La masa
(M) y el radio (R) de estos cuerpos, puede encontrarlos en un cuadro de datos del Sistema Solar


No olvide sacar la raíz cuadrada, dividir entre 2 para obtener el tiempo de un viaje de ida, y dividirlo por 60, ya que el resultado de la ecuación estará en segundos.

miércoles, 10 de enero de 2018

Matemática modular en el código ISBN

Busque en la contraportada de alguno de sus libros, o también en la página interior que contiene los créditos, el número ISBN (International Standard Book Number), que hasta el 31 de diciembre de 2006 tenía 10 dígitos, pero luego de esa fecha fue reformado para tener 13 dígitos.

Por ejemplo, mi libro del 2002 “Guía Mensual de Estrellas y Constelaciones” tiene asociado el ISBN 9977-12-646-1, pero “Los demonios de Occator” que publiqué en el 2017, conjuntamente con Marie Lissete Alvarado, tiene el ISBN 978-9930-539-30-9.

El ISBN se emplea para identificar cada libro, como si fuera su cédula de identidad, al registrar el título, edición, editor, tiraje, extensión, materia, país, lengua original, etc. También para sistematizar la producción editorial de cada país, al proveer los elementos que hacen posibles las estadísticas" (https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN).

Todos los números ISBN son sorprendentes, especiales; que usan una interesante propiedad matemática para identificar los libros, empleando un código que -permite detectar errores-.

Se lo explicaré usando el ISBN 9977-986-66-5, de mi libro “Física 11”, publicado en 1994.

Escribí el ISBN en forma vertical en la primera columna de la tabla adjunta, los números 1 a 10 (multiplicadores) en la segunda, y en la tercera los productos de las dos filas.

El cálculo de la suma de los diez productos es 363, que es divisible por 11.

No importa el libro que usted examine, si fue publicado antes del 2007, el total de los productos siempre será divisible por 11 (módulo 11).
https://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_modular.

El ISBN tiene cuatro partes: 
  • el código de país o lengua de origen, 
  • el editor, 
  • el número del artículo y 
  • un dígito de control.


El código está diseñado para detectar errores porque los dígitos siguen un patrón: sólo los nueve primeros contienen la información sobre el libro; el décimo se incluyó para verificar que el producto total que sale del ISBN sea divisible por 11.

Para los libros publicados del 1 de enero de 2007 en adelante, debe verificar que el producto total sea divisible por 10 (módulo 10).
El dígito de control de un ISBN de trece cifras se calcula de un modo diferente al del ISBN de 10 cifras, con un cálculo basado en el módulo 10: multiplicando el primero de los 12 números iniciales por 1, el segundo por 3, el tercero por 1, el cuarto por 3, y así sucesivamente hasta llegar al número 12; el dígito de control es el valor que se debe añadir a la suma de todos estos productos para hacerla divisible por 10. (Por ejemplo si la suma es 97, el dígito de control es 3, porque 97 + 3 = 100, que es divisible por 10; si la suma es 86, el dígito de control será 4; si suman 120, será 0; y así en cualquier otro caso.” sic https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN#El_ISBN_de_trece_d%C3%Adgitos
De manera más simple:

suma de las cifras de lugares impares + 3(suma de las cifras de lugares pares),
debe ser siempre un múltiplo de 10. 

Si le parece para tener una práctica divertida con un aprendizaje, haga lo siguiente:
  • Anote los números ISBN de algunos de sus libros, especialmente si son de su autoría y verifique que están correctos (no tienen errores).
    Si se publicaron antes de 2007 siga el procedimiento que yo ilustré (módulo 11), si son posteriores siga el procedimiento delineado arriba (módulo 10).
  • Compruebe que si asocio este número ISBN; 978-9930-593-31-6, a mi libro “Tus fotos sin una cámara”, cometí un error al escribir el código:

9x1+7x3+8x1+9x3+9x1+3x3+0x1+5x3+9x1+3x3+3x1+1x3+6x1 =…?

viernes, 5 de enero de 2018

El mediodía solar en Costa Rica (10° N; 84° O)

El mediodía solar es el momento en el cual el centro del disco solar cruza el meridiano del observador.


Esto no significa que el cruce sea cenital, con el Sol encima de la línea de la plomada, un error coceptual muy común.

El meridiano local (de usted como observador) en la curva imaginaria que parte del punto Norte de su horizonte, sube hacia el cenit y termina en el punto Sur.
Evidentemente el meridiano local (si lo considera como una circunferencia de 360
°) pasa por el Polo Norte y el Polo Sur de la esfera celeste.

Si usted está mirando justamente hacia el Norte, entonces a su derecha y a 90° (a escuadra), encontrará el punto Este, mientras que a su izquierda y también a 90° encontrará el punto Oeste de su horizonte.


Fecha
Hora (C.R.)
Altitud
declinación
Fecha
Hora (C.R.)
Altitud
22 / 06
11:38
76,5°
± 23,5°
22 / 12
11:34
56,6°
29
11:39
76,7°

29
11:38
56,9°
01 / 07
11:40
76,9°

01 / 01
11:39
57,1°
08
11:41
77,5°

08
11:43
57,9°
15
11:42
78,5°

15
11;49
59,0°
22
11:42
79,8°

22
11:47
60,5°
29
11:42
81,3°

29
11:49
62,3°
01 / 08
11:42
82,0°

01 / 02
11:49
63,1°
08
11:41
83,9°

08
11:50
65,2°
15
11:40
86,0°

15
11:50
67,6°
22
11:39
88,3°

22
11:49
70,1°
27 / 08
11:37
90,0°
10°
28
11:48
72,3°
01 / 09
11:36
88,2°

01 / 03
11:48
72,7°
08
11:33
85,6°

08
11:47
75,4°
15
11:31
82,9°

15
11:45
78,1°
22
11:28
80,2°
0°
22
11:43
80,9°
29
11:26
77,5°

29
11:41
86,3°
01 / 10
11:25
76,7°

01 / 04
11:40
84,8°
08
11:23
74,0°

08
11:38
87,4°
15
11:22
71,4°
10°
15 / 04
11:36
90,0°
22
11:20
68,9°

22
11:34
87,6°
29
11:20
66,5°

29
11:33
85,3°
01 / 11
11:19
65,5°

01 / 05
11:48
72,7°
08
11:20
63,4°

08
11:47
75,4°
15
11:20
61,5°

15
11:45
78,1°
22
11:22
59,9°

22
11:43
80,9°
29
11;24
58,5°

29
11:41
83,6°
01 / 12
11:25
58,2°

01 / 06
11:34
77,8°
08
11:28
57,3°

08
11:35
77,1°
15
11:31
56,8°

15
11:36
76,6°

Otras definiciones:

El cruce cenital del Sol solamente se da en la zona intertropical de la Tierra, dos veces al año para cada latitud.
Fuera de esta zona, por ejemplo en Europa, Asia, Sur de Chile y de Argentina, y en Nueva Zelanda. el Sol no llega al cenit, en ningún momento.

En Costa Rica, la llamada fecha del Sol sin sombra ocurre alrededor del 15 de abril, cuando usted nota que el Sol se va corriendo hacia el solsticio del norte, y el 29 de agosto, cuando el Sol viene de regreso hacia el equinoccio de setiembre. Desde luego la fecha varía uno o dos días, si usted está al Sur del país, o al Norte.

Tampoco ocurre cuando su reloj marca las 12:00, porque Costa Rica no está en la longitud geográfica del meridiano del 90°, sino en el de 84° (coordenadas promedio), otro error común.
Ocurre unos 24 minutos antes, puesto que el Sol recorre 15°/hora (1° cada 4 minutos).

La altitud del Sol es el ángulo medido a lo largo del meridiano (0° a nivel del horizonte, 90° encima de su cabeza).

La altitud mínima, como es lógico se da en la fecha del solsticio del sur, el 22 de diciembre; 56,6° a las 11:34.

Como dijimos, la altitud máxima se da durante las pasadas cenitales 15 de abril; 90° a las 11:36 y el 27 de agosto, también 90° a las 11:37.

Una altitud intermedia ocurre el día del solsticio del norte, el 22 de junio; 76,5° a las 11:38.