martes, 24 de enero de 2017

Aritmética en Maya (George I. Sánchez 1961)

En 1966, cuando vivía en Austin Texas, mientras realizaba estudios para obtener mi Maestría en Física, en “The University of Texas at Austin”, el director de mi tesis, Dr. Robert N. Little Jr., me obsequió una copia del libro “Arithmetic in Maya”.
Lo había escrito y editado en 1961, hace 56 años, un amigo de R.N.L., el profesor de UT George I. Sánchez.
(https://en.wikipedia.org/wiki/George_I._S%C3%A1nchez).
Aún conservo ese libro y r
ecientemente vi que Amazon lo ofrece a la venta (10 veces el precio de 1966). 
Quizás usted pueda encontrar algunas copias para leerlo en bibliotecas de Texas o de New México. Si a algún lector le interesa, podría intentar hacerle una copia en PDF.
El libro lo leí en una semana y esto inició mi aprendizaje sobre el sistema de numeración Maya, y mi aprecio sobre dicha cultura. Además adquirí el gusto por la difusión y popularización de la ciencia.

Como sabemos el sistema de numeración Maya usa base 20, con una curiosa desviación para adaptarlo al calendario (http://fisica1011tutor.blogspot.com/2012/04/una-curiosidad-del-sistema-de.html).    



En realidad lo que me interesa en esta entrada, es destacar que ya en 1961 (¡hace 56 años!) existía una publicación que, nos explicaba la manera de hacer aritmética (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) de acuerdo con el sistema de numeración usado por los pueblos Mayas. Escrita, editada y publicada, posiblemente con fondos propios, por un profesional fuertemente dedicado a la difusión de la cultura.
Porque ahora en la Internet se encuentran varias publicaciones, pero algo recientes, y hasta una tesis universitaria, eso sí, mucho más completas.

sábado, 10 de diciembre de 2016

Rombicuboctaedro para su árbol de navidad

Colaboración de Marie Lissette Alvarado


Se trata de un reto medio para hacer un sólido de cartulina, decorarlo y colgarlo.

Quizás con un grado más de complejidad que un “tetraedro regular”, un “hexaedro” (cubo), una “pirámide” (base cuadrada y cuatro triángulos isósceles), o un “octaedro regular” (como dos pirámides cuyos lados son triángulos equiláteros, unidas por la base).

Pero, desde luego, si quiere estudiar más matemática (geometría) y diseño gráfico, puede hacerlos todos. Verá que aprenderá bastante y de paso se divertirá.

Es una actividad para hacerla con la familia, y amigos.

El “rombicuboctaedro  es un sólido de Arquímedes, con ocho caras triangulares y dieciocho caras cuadradas. Hay 24 vértices idénticos, con un triángulo y tres cuadrados en cada uno. (Tenga en cuenta que seis de los cuadrados sólo comparten vértices con los triángulos mientras que los otros doce comparten un borde). El poliedro tiene simetría octaédrica, como el cubo y el octaedro. [sic. Wikipedia].


https://en.wikipedia.org/wiki/File
:Rhombicuboctahedron.gif
Para rotar el rombicuboctaedro haga click en el vínculo.

Superficie con las pestañas requeridas.
 MLA.


Le aconsejo hacer el desarrollo de la superficie con regla y lápiz , tomando en cuenta las pestañas.

Todas las dimensiones (arista a) son iguales. El dibujo con una arista de 2,5 cm, cabe en una hoja tamaño carta, pero debido a su pequeño tamaño, la labor manual de pegado, es un poco incómoda.

El mío lo hice en una cartulina blanca, y usé una arista de 3 cm, porque es más fácil de manipular.

Tetraedro regular
https://en.wikipedia.org/wiki/
File:Tetrahedron.gif


  • Con la punta de una herramienta (hueso) remarque todas las rectas de los dobleces, tanto en la figura como en las pestañas.
  • Recorte por todo el borde, use un cuter y una regla preferiblemente de metal, la tijera no es muy práctica.
  • Doble con cuidado por todas las aristas.
  • Refuerce el interior de las pestañas con masking tape, antes de colocarles pegamento por el frente.
  • Vaya armando con cuidado (sujete las superficies un rato, mientras la goma se seca).
  • Comience por las formas triángulo-cuadrado-triángulo, poco a poco el sólido se va cerrando. 
  • Deje de último la tapa que es un cuadrado donde se puede perforar con aguja e hilo dejando por dentro un botón  para evitar que se suelte. Puede usar silicón caliente.
  • Pinte, decore, colóquele estrellitas fosforescentes, a su gusto.
  • Que lo disfrute. 
  • ¡Pero no olvide la matemática involucrada, será muy bueno para su salud!


Desarrollo de la superficie
en cartulina,
a = 3 cm./ MLA.




Pintado de rojo con "spray"

y decorado con estrellitas
fosforescentes.


El área del rombicuboctaedro, es la suma de 18 cuadrados: 18 × a2.

Más 8 triángulos equiláteros: 8 × (a × a√3/2)/2 Resulta entonces:

¡Proporcional de la segunda potencia de una arista! (todas son de igual longitud).

El volumen no es tan simple (pero se puede intentar su demostración), en Wikipedia dicen que es:

¡Proporcional a la tercera potencia de una arista! (todas son de igual longitud).

viernes, 4 de noviembre de 2016

¿Cuánto sabe sobre física de todos los días?

1.  De acuerdo con la tercera ley de Newton, cuando dos objetos chocan, no importa sus tamaños, en cuanto a la fuerza que uno ejerce sobre el otro (¡fuerzas de interacción!), se cumple que:

A. El cuerpo de más kilogramos ejerce mayor fuerza sobre el de menos kilogramos.
B. El cuerpo con menor velocidad ejerce menos fuerza sobre el más veloz.
C. Las dos fuerzas de interacción tienen la misma magnitud, pero dirección opuesta.

2. Los símbolos que se usan para expresar la unidades básicas de medición en el Sistema Internacional de Unidades y sus derivadas, que fue adoptado en Costa Rica con la ley 5292 de agosto de 1973, son letras o combinaciones de letras, mayúsculas o minúsculas.
Entonces, para las unidades de longitud, tiempo y masa y velocidad (metro, segundo, kilogramo y kilómetro/hora), se debe usar, respectivamente
A. mt, seg, kgr, Kms/hr.

B. m, s, kg, km/h.
C. mts, segs, Kgr, Kmts/hr.

3. De acuerdo con la segunda ley de Newton, si una única fuerza (o la suma de ellas), que actúa sobre un cuerpo, no es nula, entonces ese cuerpo
A. Se mueve con aceleración constante proporcional a la fuerza y en su misma dirección.
B. Se mueve con velocidad constante en proporción inversa a los kilogramos del cuerpo. 
C. Tiene una energía cinética (¡energía de movimiento!) constante, en la dirección de la fuerza.

4. Si se pudiese pisar hasta el fondo el pedal del acelerador de un carro, gastando gran cantidad de combustible por segundo, para mantener una rapidez de 150 kilómetros por hora, a lo largo de una recta en una carretera (¡es ilegal y muy peligroso, no lo haga!), el carro viajaría con
A. Muchísima aceleración.
B. Aceleración igual a cero.
C. Aceleración creciente.

5. Cuando su carro viaja hacia delante, suponiendo un rodaje normal de las llantas, la fuerza que realmente lo empuja hacia adelante es la ejercida por
A. Las cuatro llantas sobre la carretera.
B. El motor y todo el sistema de propulsión sobre las llantas.
C. La carretera sobre las cuatro llantas.

6. Usted puede estacionar su carro en una pendiente empinada (¡pero no demasiado!), debido a
A. La fuerza que ejerce el freno de mano sobre el sistema de frenado.
B. El peso del carro y mientras más pesado sea éste, mejor.
C. La fuerza de fricción estática (¡rozamiento!) entre las llantas y la carretera.

7. Para lograr el alcance máximo con el agua que usted lanza desde una manguera (¡independiente de detalles de presión!), el chorro debe salir con un ángulo cercano a los
A. 55°
B. 45°
C. 35°

8. Cuando un paracaidista salta desde una avioneta a gran altura se puede decir que realiza
A. Un “salto al vacío”, porque a esa altura y velocidad, es como si no hubiese aire, esto es, casi un vacío.
B. Una “caída libre”, porque el rozamiento de la ropa y los aparejos con el aire, pude considerarse despreciable.
C. Una “caída en la atmósfera”, porque el rozamiento con el aire le permitirá alcanzar una velocidad límite segura.

9. Si una rueda grande y otra rueda pequeña (o si prefiere engranajes bien acoplados), giran en contacto sin, resbalar o patinar, se cumple que.
A. La rueda de menor radio da más vueltas por minuto que la de mayor radio.
B. El número de vueltas por minuto de ambas es igual, sin importar el radio.
C. La rueda de mayor radio da más vueltas por minuto que la de menor radio.

10. ¿Qué sucede con la energía potencial gravitatoria de una bola que, al dejarse caer de cierta altura, realiza algunos rebotes y finalmente queda en reposo en el suelo?
A. Se transforma en energía cinética que continua con la bola en el piso.
B. Se invierte en deformar la bola (¡y el piso!), producir ruido y calentar la bola.
C. Se acumula totalmente como energía potencial elástica en el interior de la bola.

Si requiere una aclaración sobre las preguntas, o conversar sobre las posibles respuestas, use la facilidad de comentarios, o escriba a javillalobos@ice.co.cr

sábado, 1 de octubre de 2016

12:05 a.m., ¿a qué se refiere?

Seguro que tanto usted como yo, hemos visto una expresión semejante, en otras oportunidades.
Para mi la última, fue en un reporte de la hora de una erupción del volcán Turrialba que ocurrió 5 minutos después de la media noche.

Al principio me pareció desconcertante, confusa y ambigua, ¿no sé qué le parece a usted?
Pero tomando en cuenta la costumbre y la manera de dar la hora, no solo  en Costa Rica, pues finalmente me pareció que no estaba mal.
Los astrónomos (aún los aficionados como yo) preferimos, sin embargo, dar la hora de un evento en sistema de 24 horas, entendido de la siguiente manera.

  • El día empieza a media noche (¡o si le parece un epsilon de segundo después!), a las 00:00.
    Digamos cuando el sol cruza el meridiano opuesto al del observador, al otro lado de la Tierra, lo que a veces llamamos la culminación inferior. Claro esto es en realidad la medianoche solar local, pero para no complicar las cosas digamos que en esa noche particuclar, coincidió con la hora civil oficial (¡la del reloj!), cuando la ecuación del tiempo fuera igual a cero.
     
  • El medio día ocure a las 12:00, también en un día en que el tiempo solar coincide con la hora civil oficial.
Entonces en un sistema de 24 horas, donde no hay a.m., ni p.m., la hora del título de esta entrada sería más bien 00:05.
Sin embargo, pues no hay problema en expresarla como lo hice en el título, porque el uso generalizado rápidamente nos llama la atención y la cosa no pasa a más. 

Ahora bien, ¿qué le parece a usted “las doce antes meridiano” (12:00 a.m.), y “las doce pasado meridiano” (12:00 p.m.)?
Yo creo que hay una cierta ambigüedad, si no lingüística, si quizás lógica, matemática y astronómica.

El cruce del meridiano por el Sol, esto es la culminación superior o la culminación inferior de la estrella de nuestro sistema, no pertenece –ni al antes-, -ni al después-, ocurre en el momento preciso.
Es más o menos una situación análoga al cero de la recta numérica, no es ni positivo, ni negativo.
Entonces parece más correcto decir “doce medio día” (12:00) y “doce media noche” (00:00).
De hecho, en idioma inglés no se usa 12:00 a.m., ni 12:00 p.m., se usa “twelve noon” y “twelve midnight”, respectivamente, tampoco en francés, como se puede apreciar en la imagen anterior.
Bueno creo ahora estoy más convencido de usar para mis trabajos  astronómicos, el sistema de 24 horas. Así que estoy escribiendo esto el día primero de octubre a las 00:05.

viernes, 16 de septiembre de 2016

Ángulo de 90°, con estacas y cuerdas (regla y compás)

Un lector de la entrada anterior,Mi anécdota de la elipse”, me envía esta pregunta:
  • ¿Cómo hacer en el campo un ángulo recto, para formar un rectángulo, un cuadrado, o un triángulo rectángulo, con lados de varios metros?

Bueno, como mis blogs son para amigos de todas las edades y niveles educativos y no para publicar mis descubrimientos o inventos, que generalmente los educadores y los divulgadores de la ciencia no tenemos, pues entonces ahí les va una respuesta.
Espero que a alguien le sirva en su finca, jardín o patio.

Primero le contaré como lo hace un albañil, carpintero, o maestro de obras en una construcción. Lo que utiliza es una escuadra, supongo que mientras mayor sea su tamaño así es la precisión que obtendrá. Luego las rectas se amplían cuidadosamente con cuerdas, para extenderlas hasta el tamaño requerido. 
Desde luego también se puede usar instrumentos más sofisticados como un “teodolito”, una mira láser y aún un GPS, acompañados de los procedimientos apropiados.

Ahora le contaré sobre el procedimiento utilizado por los geómetras de la antigua Grecia; Tales, Pitágoras, Euclides y otros,  utilizando regla y compás, o mejor usando estacas y cuerdas.

Posiblemente como también lo hicieron egipcios, mayas (https://es.wikipedia.org/wiki/Templo_de_Kukulk%C3%A1n) y otros pueblos para definir los cuadrados de las bases de sus pirámides y templos.


Si lo que quiere es simplemente hacer ángulos rectos, divirtiéndose con un poco de geometría básica. Yo aplicaría al igual que los griegos, el Teorema de Pitágoras, pero de seguro usted amigo lector, debe tener algún otro método que me gustaría nos los relate por medio de un comentario.

  1. En una fina cuerda hecha del material más “inextensible” que encuentre, marque segmentos de 3 unidades arbitrarias, seguido de 4 unidades y de 5 unidades (pueden ser de 3,0 m, 4,0 m y 5,0 m).
  2. Con muchísimo cuidado (invirtiendo tiempo y técnica), construya un lazo con dicha cuerda de 12 unidades arbitrarías de perímetro. Tenga cuidado que la longitud de los segmentos (3, 4, 5) no se altere. Puede agregar un pequeño y fino nudito en las marcas que delimitan los extremos de los tres segmentos, para luego tensar el lazo formando un triángulo.
  3. Con la ayuda de dos amigos coloque la cuerda en el lugar de trabajo, formando un triángulo cuyos lados serán 3 unidades, 4 unidades y 5 unidades, tensando el lazo con tres estacas, varillas o clavos, halando de los nuditos en los extremos de los segmentos.
  4. El triángulo será rectángulo, con el ángulo recto (90°), en el vértice que forman los lados de 3 y 4 unidades.
    Quizás se necesite un tercer amigo para que supervise y evalué la exactitud y precisión del trabajo.
  5. Ha construido uno de los triángulos pitagóricos más sencillos y útiles (3, 4, 5); 32 + 42 = 52.
  6. ¿Sabe cuánto miden los otros ángulos de este triángulo?
    Use sus conocimientos sobre funciones trigonométricas (!las eliminaron del examen de bachillerato este año!), a lo mejor su celular tiene esta “aplicación”.
  7. ¿Que le parce si me envía un comentario sobre la exactitud que obtendría si usa otro triángulo pitagórico, por ejemplo de lados (1, 1, √2), o (1, 2, √3)?
Referencias adicionales



martes, 23 de agosto de 2016

Mi anécdota de la elipse

En mis clases de Astronomía, he solicitado varias veces a los participantes (incluyendo a docentes), que dibujen una elipse.
La última vez fue en el taller “La órbita de la Tierra”, realizado en Santiago de Veraguas, Panamá (http://astronomia10norte.blogspot.com/2016/05/la-orbita-de-la-tierra-taller.html). 
Desde luego espero un diagrama de calidad, como el que usted podría hacer para una circunferencia, usando un compás. O también un chinche, una cuerda y un lápiz.
Como generalmente no se encuentra un participante que pueda dibujar la elipse, y un buen porcentaje de ellos no tiene idea clara de las características de esta figura, entonces abordo la situación de la siguiente manera:


  • Entrego a equipos de participantes lo siguiente: una hoja de papel, un cartón corrugado, dos chinches, un lazo de hilo fino pero resistente de 6 cm de perímetro (prepararlo con tiempo) y un lápiz. Les pido entonces que dibujen una circunferencia.
    Bueno la circunferencia la hacen (!algunos!) sin mucho problema.
  • Luego de comentar sobre el método de trazado y sobre la geometría de la elipse, les pido que la dibujen. Pero, salvo raras excepciones, la imposibilidad continúa.
    Es curioso, la elipse no parece estar en el plan de estudios de Geometría en el Colegio, y menos en la Escuela, aunque ya Euclides la conocía 250 años antes de Cristo y Kepler la usó en 1610 para sus órbitas planetarias.
  • Entonces tras una nueva explicación con un ejemplo, logran hacerlo.
    Por lo general les pido que con una regla marquen una recta por media página, que cerca del centro marquen dos puntos separados 2 cm, que coloquen allí los chinches. Que tensen el lazo entre los chinches y la punta del lápiz y procedan a dibujar la elipse, como se ve en la figura.
  • Me sorprendió también la poca habilidad para trazar la perpendicular a una recta (a pesar de que algunos tenían reglas anchas y aún escuadras). Una buena mayoría lo hizo "al ojo" y no les preocupó la evidente imprecisión de sus resultados
Si el trabajo se hace bien, resulta una elipse con semieje mayor de 2 cm (puede comprobarlo visualmente y medirlo), con semieje menor de √3 cm (calculado mediante el teorema de Pitágoras).

Calcular la distancia focal, la excentricidad y el perímetro de la elipse, desde luego caen fuera de este nivel de matemática preuniversitaria, pero si usted desea hacerlo, puede encontrar asesoría en alguno de los vínculos que se dan al final.

Bueno, aquí está mi anécdota:

  • Tengo un terreno plano en El Roble de Santa Bárbara de Heredia, desde donde hago observaciones astronómicas y se me ocurrió un día marcar en él una elipse.
    Le pedí entonces a la persona que corta el césped que me ayudara a marcar una elipse, pero no le dije cómo sería el resultado final.
    Me consiguió dos estacas  que clavamos separadas entre sí 2 m, una cuerda con la que hicimos un lazo de 6 m de perímetro y una macana que haría las veces de lápiz.

    Mi acompañante se hizo a un lado y decidió no ayudarme más.
    Yo tensé el lazo y cuidadosamente procedí a hacer hendiduras en el zacate hasta completar la elipse.
    El me miraba con asombro, como diciendo: ¿que está haciendo?, !no le va a salir bien!, ¿no sabe que así no se marca una rueda?

    A veces se reía cuando yo verificaba que las estacas permanecieran en su lugar y el lazo tenso.

    Finalmente, luego de dos pasadas y cuando la elipse ya se notaba bien, con una sonrisa burlona me dijo:
    “Tanto mate y no le quedó redonda”.
Aún no me he atrevido a darle una explicación, prefiero por ahora, dejarlo con su alegre y triunfal semblante.
La órbita de la Tierra,  2016. (IMCCE).

jueves, 11 de agosto de 2016

La conjetura de Collatz

También me la encontré en “El libro de las MΛTΣMÁTICAS”, página 374, luego de que P. Cisneros me remitiera este vínculo: http://www.bbc.com/mundo/noticias-36651490, con un artículo ilustrado con el fractal que coloqué aquí de último.
Esta es la Conjetura de Collatz:



Escoja un número natural cualquiera; N= {1, 2, 3, 4,…}
Si el número es par, lo divide por 2.
Si el número es impar, lo multiplica por 3 y le suma 1.
Continúa aplicando las mismas reglas al resultado.

Puede utilizarla para divertirse un rato con una secuencia particular de números naturales, que puede crecer, decrecer, subir y bajar, pero finalmente llega a 4, 2, 1.
Por tales motivos también se le llama “secuencia de Collatz”, “números de granizo” y “secuencia 3n +1”, entre otros.

Es una “conjetura”, porque a pesar de que representa un problema bastante simple, no se ha podido hasta ahora, realizar una demostración formal, esto es probar que es correcta, o incorrecta, ni encontrar un número natural que no satisfaga el resultado.

Esta es una secuencia corta: 7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1

Para hacer sus ensayos entretenidos, haga las cuentas mentalmente, use papel y lápiz, o una calculadora, eso sí tenga cuidado de no salirse de las reglas, pues se sale de la secuencia. 
¡Pruebe con el número 27!

¿Está pensado en usar enteros negativos?
Adelante, seguro no encontrará nada que no se conozca, pero será entretenido; ¡divida por -2, reste en vez de sumar, etc.!

Este problema fue presentado por el matemático alemán Lothar Collatz en 1937.

En las referencias encuentra sitios donde hay gráficos de una secuencia particular, inclusive puede escuchar las notas musicales que produce, en el instrumento de su elección (https://oeis.org/play?seq=A006577).