sábado, 17 de febrero de 2024

Febrero no puede tener dos lunas llenas

O la otras tres; nueva, primer cuarto, o tercer cuarto, como las llaman en algunos países, en ningún año.

Ayer en mi charla sobre años bisiestos como este 2024, un participante me dijo: "por qué estaba tan seguro, quizás en el pasado, o en el futuro podría suceder". La respuesta la podemos alcanzar con simple matemática -y conocimiento astronómico-, siempre necesario.

La rotación sideral de la Luna tiene un acople con la revolución alrededor de la Tierra, posiblemente desde poco después de la formación de aquella; por ahora el período es de 27,321661 días (en promedio 27 d 7 h 43 min 11,6 s ± 0,5 segundos).
Sideral (respecto a las estrellas), significa que, si cierta estrella está cruzando exactamente el meridiano de su punto de observación, regresará exactamente a cruzarlo de nuevo, dentro de ese período de tiempo (mes sideral para el caso de la Luna). Para medirlo directamente, debe estar “en la Luna” (pero con plenas facultades), sin embargo, se puede calcular "en la Tierra" -con poquita matemática y conocimiento-.

¡Parecería entonces que en cualquier mes podría ocurrir, eventualmente, dos fases idénticas!. Bueno, no es tan simple.

Que no se nos olvide una consecuencia importante de la Luna como satélite de la Tierra: durante ese mes sideral, la Tierra se ha desplazado -llevando a la Luna-, debido a su movimiento de revolución respecto al Sol, aproximadamente 1 grado por día (360°/365,25 días); casi un grado por día, o unos 27 grados cada mes sideral.


Por ejemplo, la Luna nueva del 9 de febrero 2024 a las 17:00 estará alineada con la Tierra, el Sol y alguna estrella lejana. Después de 27,3 días (8/03) estará  de nuevo alineada con la Tierra y la estrella !pero no con el Sol!, le faltan unos dos días para lograrlo,  el 10 de marzo a las 2:03.    👉
Por eso, el período entre dos fases lunares idénticas (mes sinódico) tiene mayor duración, unos 29,5 días.

Así que no caben dos lunas llenas en febrero, aunque sea bisiesto.

¿Y en los meses de 30 días? Bueno la primera debe ocurrir en las primeras horas del primer día del mes, y la segunda debe apresurarse para ocurrir antes de las 24 horas del día 30.
2001: 1/novimbre; 05:43 UTC y 30/novimebre; 20:51 UTC. Y hasta depende de su uso horario. (no ocurrieron en C.R.)
2007: 1/junio; 1:05 UTC y 30/junio; 13:50 UTC. Tampoco en C.R. Aunque a la vista sí; el ojo no puede distinguir claramente la plenitud de la fase entre uno o dos días antes o después de la luna llena.
2031: 1/setiembre; 9:21 UTC y 30/setiembre; 18:58 UTC. 

Los meses de 31 días no tienen problema, si la llena cae al principio del primero o segundo día, por eso son más frecuentes, con la posibilidad de dos enero y marzo.
2004: 2 julio; 11:10 y 31 julio 18:06.
2009: 2 diciembre; 7:32 y 31 diciembre 19:14.
2012: 2 agosto; 3:27 y 31 agosto 13:58.
2015: 2 julio; 2:22 y 31 julio 10:46.
2018: 2 enero; 2:25 y 31 enero; 13:28.     3 marzo; 0:52 y 31 marzo 12:38. ¡Porque no hubo luna llena en febrero!
2020: 1 octubre; 21:07 y 31 octubre; 14:51.
2023: 1 agosto; 18:33 y 31 agosto; 1:37.
2026: 1 mayo 17:25 y 31 mayo; 8:47.

 Para concluir le recuerdo que:

  • A simple vista no es fácil distinguir la fase de la luna, uno o dos días antes o después de la llena (¡o el cuarto!).
  • No es lo mismo la culminación de la fase llena que su salida (orto) por el horizonte oriental. Los instantes no están coordinados, pero andan un poco cercanos.
  • La Luna siempre tiene una mitad iluminada, aunque esa mitad no esté frente a la Tierra.
  • La luna nueva no se ve; lo que podemos ver es un cachito menguante, o creciente.
  • Se llaman “cuartos” porque lo que vemos es la mitad de la mitad iluminada.
  • Casi desde su formación, la luna se ha estado alejando de la Tierra 3,8 cm por año, así que, eso cambia todo.
  • En algunos países llaman a la segunda luna llena de un mes “blue moon”, pero no tiene nada que ver con el color de Selene, siempre será el mismo. Se llama así porque no ocurre muy frecuente (once in a blue moon), (cada muerte de obispo).

La matemática es muy bella, útil, simple y fácil, si usted le entra con ganas. No le tenga miedo, eso es un cuento que inventaron por allí.
Le será la herramienta más importante que usará en toda su vida. No importa el trabajo que haga, desde recibir su paga, operar el corazón, o poner un satélite en Marte.

Además, actualmente usted encontrará casi todo  "lo adicional” en la Internet, si busca en sitios confiables, como lo hago yo. Aprenda a usarlos. Casi nunca visito redes sociales.


¿Qué probabilidad hay de que esto se repita?
Si tuviese un horizonte marino de 180 grados,
quizás podría ver los dos fenómenos al mismo tiempo.
https://sourceforge.net/projects/skychart/

¿Coincidirán en algún momento el Sol y la Luna, en el horizonte,
aunque no véamos a esta? (le  queda de tarea).


martes, 13 de febrero de 2024

Mi anécdota de la elipse

En mis clases de Astronomía, he solicitado varias veces a los participantes (incluyendo a docentes), que dibujen una elipse.
La última vez fue en el taller “La órbita de la Tierra”, realizado en Santiago de Veraguas, Panamá (http://astronomia10norte.blogspot.com/2016/05/la-orbita-de-la-tierra-taller.html), para profesores se Enseñanza Media. 

Desde luego espero un diagrama de calidad, como el que usted podría hacer para una circunferencia, usando un compás. O también con un chinche, una cuerda y un lápiz.
Como generalmente no se encuentra un participante que pueda dibujar la elipse, y un buen porcentaje de ellos no tiene idea clara de las características de esta figura, entonces abordo la situación de la siguiente manera:
  • Entrego a equipos de participantes lo siguiente: una hoja de papel tamaño carta, un cartón corrugado grueso, dos chinches, un lazo de hilo fino pero resistente de 22 cm de perímetro (prepararlo con tiempo). Les pido entonces que dibujen una circunferencia (no cabe en la hoja, pero más o menos se ve la forma).
    Bueno la circunferencia la hacen (¡algunos!) sin mucho problema.

  • Luego de comentar sobre el método de trazado y sobre la geometría de la elipse, les pido que la dibujen. Pero, salvo raras excepciones, la imposibilidad continúa.
    Es curioso, la elipse no parece estar en el plan de estudios de Geometría en el Colegio, y menos en la Escuela, aunque ya Euclides la conocía en el 250 aec y Kepler la usó en 1610 para sus órbitas planetarias.
  • Entonces tras una nueva explicación con un ejemplo, logran hacerlo.
  • Por lo general les pido que con una regla marquen una recta por media hoja (apaisada) y que cerca del centro marquen dos puntos separados 10 cm (5 cm a cada lado del centro), para colocar cada uno de los dos chinches.
    Que
    tensen el lazo entre los dos chinches y la punta su lápiz y procedan a dibujar la elipse, como se ve en la figura.👆
  • Me sorprendió también la poca habilidad para trazar la perpendicular a una recta (a pesar de que algunos tenían reglas anchas y aún escuadras). La mayoría lo hizo "al ojo" y no les preocupó la evidente imprecisión de sus resultados.
Si el trabajo se hace bien, resulta una elipse con semieje mayor de 6 cm - el horizontal-  y con semieje menor -el vertical- de 3,3 cm. Pero esto no es importante para el propósito del taller. Calcular la distancia focal, la excentricidad y el perímetro de la elipse, desde luego caen fuera de este nivel de matemática preuniversitaria, pero si usted desea hacerlo, puede encontrar asesoría en alguno de los vínculos que se dan al final.

Bueno, aquí está mi anécdota:
Tengo un terreno plano en El Roble de Santa Bárbara de Heredia, desde donde hago observaciones astronómicas y se me ocurrió un día marcar en él una elipse.
Le pedí entonces a la persona que corta el césped que me ayudara a marcar una elipse, pero no le dije cómo sería el resultado final (supongo que no lo sabía).
Me consiguió dos estacas  que clavamos firmemente, separadas entre sí 14 m, una cuerda con la que hicimos un lazo de 34 m de perímetro y una macana que haría las veces de lápiz, y comencé a trabajar.

En ese momento mi acompañante se hizo a un lado y decidió no ayudarme más!!
Yo tensé el lazo y cuidadosamente procedí a hacer hendiduras en el zacate hasta completar la elipse.
El me miraba con asombro, como diciendo: ¿Qué está haciendo?, !no le va a salir bien!, ¿no sabe que así no se marca una rueda?

A veces se reía cuando yo verificaba que las estacas permanecieran en su lugar y el lazo tenso.

Finalmente, luego de dos pasadas y cuando la elipse ya se notaba bien, con una sonrisa burlona me dijo: “Tanto mate y no le quedó redonda”.

Aún no me he atrevido a darle una explicación, prefiero por ahora, dejarlo con su alegre y triunfal semblante.

https://www.imcce.fr/lettre-information/archives/208#current-article4

sábado, 23 de diciembre de 2023

¿Cuántos calendarios diferentes necesita?

Se necesitan solo 14 calendarios diferentes para cubrir todas las posibilidades; siete para años regulares y siete para años bisiestos. Esto porque el primer día de un año sólo puede comenzar con alguno de los 7 días de la semana.

Desde luego sin tomar en cuenta que el domingo de Pascua cambia año con año, por motivos de la fecha de ocurrencia de la luna llena después del equinoccio de marzo, que marca el inicio oficial de la primavera en todo el hemisferio norte. Esto debido a reglas establecidas por la Iglesia desde el año 325. Sin embargo, para evitar un poco este vaivén, la iglesia estableció que el equinoccio de marzo siempre será el día 21.

Ni sin tomar en cuenta que solsticiosequinocciosperihelioafelio y lluvias de meteoros podrían tener pequeños cambios (un día quizás).
Desde luego las lunaciones, perigeos y apogeos, pues no calzarán con los calendarios de los diferentes años, porque estos fenómenos astronómicos de menor período tampoco dependen del calendario.

Entonces, el calendario del año 2024 es igual (con las excepciones anotadas) al de los años: 1872, 1912, 1940, 1968, 1996, 2052, 2080, 2120. etc.

El calendario del 2024 sólo podrá usarlo (¡el esqueleto!) hasta el año 2052. 

Recuerde que un calendario es un conteo y una organización arbitraria. Una decisión humana y como tal no tiene ninguna influencia sobre la naturaleza. Por el contrario, la ocurrencia de ciertos fenómenos naturales relativamente periódicos, especialmente los astronómicos, ha determinado el diseño de diversos calendarios.

¿Nota un patrón repetitivo en el listado de los años 👆?
¡Saltos no consecutivos de 28 y de 40 años, en años bisiestos (y de 11 y 6 en años en los no bisiestos!, hay que probarlo).

Bueno, volvamos al asunto de los calendarios.

Supongo que sabe que el periodo de revolución de la Tierra alrededor del Sol, de perihelio a perihelio (o de equinoccio a equinoccio), es 365 días, 6 horas y unos cuantos minutos y segundos más.
Pero un calendario civil solo puede tener un número entero de días, por eso escogemos tres de 365 días y uno de 366 para promediar y compensar un poco el inevitable desfase entre un calendario y las estaciones, por ejemplo.

 El año 2024 tiene 366 días, es bisiesto y comienza en lunes.

Ahora veamos por qué el calendario del 2024 lo podrá usar hasta dentro de 28 años; en el 2052.
Es un problema de simple matemática (que yo hice “a pie” y con ayuda de Google).
365 días ÷ 7 = 52 semanas + 1 día.
366 días ÷ 7 = 52 semanas + 2 días.
Entonces:

  • El primero de enero de un año que sigue a un año ordinario tiene un avance de 1 día; inclusive si ese año siguiente es bisiesto (domingo 1/1/2023; lunes 1/1/2024).
  • El primero de enero que sigue a un año bisiesto tiene un avance de dos días (lunes 1/1/2024; miércoles 1/1/2025).

Lun 1/1/2024

Mie
1/1/2025

Jue
1/1/2026

Vie
1/1/2027

Sab 1/1/2028

Lun 1/1/2029

Mar 1/1/2030

Mie 1/1/2031

Jue
1/1/2032

Sab 1/1/2033

Dom
1/1/2034

Lun
1/1/2035

Mar
1/1/2036

Jue
1/1/2037

Vie
1/1/2038

Sab
1/1/2039

Dom
1/1/2040

1/1/2041

...
1/1/2042

...
1/1/2043

...
1/1/2044

...
1/1/2046

...
1/1/2047

...
1/1/2048

...
1/1/2049

...
1/1/2050

...
1/1/2051

 Le dejo de tarea tres cosas:

  1. Continuar la secuencia hasta el 1/1/2052 y verificar que tiene que esperar hasta ese año para que el primero de enero sea lunes.
  2. Hacer un análisis para años no bisiestos. Puede comenzar con el domingo 1/1/2023.
  3. ¿Por qué el calendario del 2024 no se puede usar en el 2104 pero si en 2120?
    ¿Tendrá que ver que el año 2100 no será bisiesto, a pesar de que 2096 y 2104 si lo serán?

lunes, 13 de marzo de 2023

3 / 14 (marzo 14), día de "pi"

En los países que usan la nomenclatura mes – día - año, para el calendario; el día marzo - 14 se recuerda a la constante matemática universal  p

El matemático galés William Jones introdujo el símbolo p en 1706, seguro por la palabra griega perímetro  (pερίμετρος). El concepto más sencillo que tenemos de esta constante es:
"el número de veces que el diámetro de un círculo cabe en su circunferencia."

Posiblemente los pueblos antiguos descubrieron esta constante, relacionándola con el diámetro de la rueda de un carro y lo que se desplazaba dicho vehículo cuando la rueda da una vuelta completa.

Comprobar esto, hasta cierto grado de aproximación, no es difícil, hágalo y se convencerá. Simplemente trace en una hoja de papel (con mucho cuidado) un círculo de cierto radio, usando el método del cordel anudado para formar un lazo fijo, el lápiz y el clavito (figura abajo).
Si el cordel (entero) mide 10,0 cm, entonces el círculo le va a quedar de 5,0 cm de radio (10,0 cm de diámetro).
Ahora, corte el lazo y colóquelo con paciencia y cuidado a lo largo de la circunferencia. Encontrará que el cordel (el diámetro del círculo) cabrá en ella "3 veces y un poco más de una octava parte” (3,14 veces).

Los decimales pueden ser un cierto número de cifras, dependiendo de la precisión de su trabajo, como: 3,14159, pero para propósitos cotidianos, generalmente basta con 3,14.


☺!¿ Qué habrá pasado en marzo 14 de 1592 ?!☺

 p es un número irracional y no puede ser representado exactamente como una fracción común. Sin embargo, 22/7 = 3,1428571428, puede usarse para obtener resultados aproximados satisfactorios. p es el número trascedental más conocido.

Desde sus años intermedios de escuela, usted se encontró con esta interesante constante matemática, ya que el perímetro de un círculo (la circunferencia) y su área se calculan multiplicando  p por otras cantidades, una de ellas la que determina el tamaño de esa figura geométrica (el diámetro).

Seguro en el colegio se topó con esferas y conos, cuyas áreas y volúmenes también se calculan con la intervención de  p.

Yo me encontré con la elipse hasta en mis años de universidad, pero puede que usted haya tenido mejor suerte.
Las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elipses, lo mismo que las de los satélites, naturales o artificiales, como la Luna y el Telescopio Espacial Hubble.

Al fin y al cabo, más de setenta años de progreso, deben haber mejorado algo las cosas. Si no ha sido así, pues, lamentablemente hemos desperdiciado el tiempo de nuestra educación básica.

No recuerdo que en la Escuela República de Colombia, ni en el Colegio de Naranjo, le tuviésemos miedo (mucho menos fobia) a la matemática. Y eso que en 1955 ni la palabra psicólogo era conocida por nosotros o nuestros padres.

Tampoco teníamos calculadora, sólo lápiz, papel y tablas usuales.

Conocí la regla de cálculo en la Universidad de Costa Rica en 1962.

 La calculadora científica llegó hasta 1969 en la Universidad de Texas.


a= semi-eje mayor
b= semi-eje menor



Aproximación de Ramanujan para el perímetro de la elipse.
***** 
Area = (pi) a b

area= p ab
 p no solo aparece en el campo de la geometría, sino también en otros campos de la matemática, y en ciencia, especialmente en Física, pero de eso conversaremos en otra oportunidad.

Ley de Coulomb.
Ecuación de Euler.
Fórmula de Hawking-Bekestein, para la entropía de un agujero negro.

A propósito de la fecha 14 de marzo, en este año 2023 
se cumplen
143 años del na
cimiento de Albert Einstein.

martes, 12 de julio de 2022

Polígonos de igual perímetro. PIAM - U.C.R. (taller; práctica para curso "Conversemos sobre matemática". 13/07/2022, (Conversemos sobre astronomía.)

En realidad todos los lados son curvos, debido al material que se usa.

Materiales:


  • Una botella plástica (de refresco) de buen tamaño (2, o 3 litros). Debe tener una gran parte lisa (cilíndrica).
  • Navaja “cúter”, tijera (se puede compartir).
  • Cinta métrica flexible ("de costurera"), graduada en milímetros. -opcional-. Yo tengo una.
  • Marcador tipo pilot (-opcional si tiene permanente-)
  • Calculadora básica (puede ser en el celular y se puede compartir el cálculo, o usar de la internet. Cargue un App en su teléfono. https://www.calculator.net/scientific-calculator.html

    TRABAJAREMOS EN GRUPOS DE DOS PARA AYUDARNOS
    Y COMPARTIR EQUIPO.
    ESPERE....las isntrucciones las daremos enclase

Procedimiento:

  1. Corte con cuidado la base de la botella a lo largo de la línea  inferior de la etiqueta (o hendidura). -- MEJOR ESPERE A LA CLASE---, o pase al punto 2.
  2. Coloque el marcador pilot contra la superficie cilíndrica de la botella y marque una cinta haciéndola girar. Puede usar un soporte (caja de fósforos --yo llevo unos de madera-) para calibrar la posición y ancho del corte. 
  3. Colóque la botella sobre la mesa y proceda a medir (con cuidado y precisión) el PERÍMETRO del cilindro usando la "cinta de costurera" (su compañero la sostiene y usted mide, luego se cambian).
  4.  ESTIME hasta la décima de milímetro (o al menos hasta la mitad); por ejemplo: 32,70 cm; o 32,75 cm.
  5. Coloque la botella en la hoja de papel y marque con cuidado el perímetro (trate de que no se deforme). - Supuestamente una circunferncia-
    ¿Cómo encontraría el centro?
    ¿Como encontraría y mediría el diámetro y la longitud de la circunfrencia (perímetro)?
    Anote sus dos mediciones del perímetro:
  6. a) método directo (cinta) = _______ cm
    b) cálculo                         = ________ cm
  7. Pase a la pizarra y anote su valor directo en la tabla (agregue iniciales).
  8. Calculemos (ENTRE TODOS - en clase): valor mínimo, valor máximo, promedio, valor más probable, etc.
  9. Coloque el marcador pilot contra la superficie cilíndrica de la botella y marque una cinta de unos 2,0 cm de ancho (aproximadamente), haciéndo girar la botella. Use el soporte para calibrar el ancho de la cinta que quiere.
  10. Proceda a cortar la cinta; el cúter puede ayudarle al inicio y la tijera para el resto. Trate de producir un corte fino y parejo. 
  11. Corte todas las cintas hasta llegar al cuello; deben quedar TODAS cilíndricas e IGUALES.
  12. Si al final le sobra una cinta más ancha, resérvela para otro proyecto (Cinta de Möbius).
    En clase tendremos más instrucciones específicas.

  13. SI LE PARECE DETENGA SU LECTURA AQUI.
    NO LEA LAS INSTRUCCIONES QUE SIGUEN PARA QUE RESULTE UNA SORPRESA ALGO DIVERTIDA E INSTRUCTIVA.

  14.  Circunferencia; C = 2 π  R = 37,10 cm.

    Entonces:
    Radio        = 5,90 cm.
    Diámetro  =11,81 cm.
    Área        = 109,5 cm2.

    1 doblez.
  15. Hacia afuera.
    ¡¿Gota de agua?!

    Hacia adentro 👉
    ¡Póngale nombre!

    2 dobleces.

  16.  

    ¡Ojo chino!

    ¡Corazón!

     


    ¡¿ Ocho...
    o infinito ?!

    Con 3, 4, o más dobleces haremos algunos polígonos que requieren un poco de matemática básica y mediciones; por ejemplo: tríángulo equilátero, triángulo rectángulo (pitagórico), cuadrado, hexágono y otros que resulten combiando dobleces hacia adentro y hacia afuera.
Todos de igual perímetro.

4 dobleces, hacia adentro.
¿Qué nombre le pondremos?

  • Triángulo rectángulo semejante al 3 - 4- 5.

    (ángulos 37°, 53°, 90°)


    Usaremos el teorema de Thales y quizás

    el torema de Pitágoras.


    ¡¡Bueno,... casi!!😅

viernes, 14 de enero de 2022

La cuadratura de la lúnula

Encontré en "El libro de las MΛtΣmΛticΛs"  (Clifford A. Pickover), página 48, esta interesante página sobre el trabajo del matemático griego Hipócrates de Quíos (470 - 400 a.e.c.), para hayar el área de un cuadrado, equivalente al de una lúnula dada.



Una lúnula es una superficie plana en forma de luna creciente, limitada por dos arcos de circunferencia cóncavos.
En el ejemplo, el área de las dos lúnulas amarillas, asociadas a los lados de un triángulo rectángulo inscrito en un círculo, es equivalente al área del triángulo rojo.

En la época de Hipócrates, creo que la demostración se hacia con regla y compás, auque seguro que se conocía el teorema de Pitágoras, pero el uso del álgebra, como lo voy a hacer aquí, quizás no era tan generalizado.
Le propongo este ejercicio como práctica matemática para usted. Supongo que estudiantes de XI año, pueden resolverlo. Le daré unas ideas.
  • La hipotenusa c del triángulo rojo es un diámetro, por eso el triángulo es rectángulo.
  • El área del triángulo rectánglo rojo es (a x b)/2.
  • El área del círculo azul de diámetro c es: p(c/2)2

  • La suma de las área de las dos lúnulas amarillas es igual al área de los dos semicírculos de diámetro a y b, respectivamente, menos el área de un semicírculo azul de diámetro c, al que se le ha quitado el área del triángulo rectángulo rojo.
  • Necesita además el teorema de Pitágoras; a2 + b2 = c2     
  • El área de las dos lúnulas es: 
  • Si el triángulo rectángulo es "isósceles", el área de una lúnula es:  a2/4.

    Pero si el  triángulo inscrito es equilátero de lado D, el procedimiento es ligeramente diferente.              👉

     

    El área de la lúnula amarilla es:


    Solo despeje R, sustituya en la fórmula del área y encuentre el valor.

    (¡mi resultado, por favor revise!)

  •                                 
  • El procediento para un hexágono regular inscrito es casi el mismo. 
  • Diviértase encontrando en área de una lúnula para un cuadrado inscrito y para otras figuras inscritas; rectángulopentágono regular.
    Complete usted el dibujo de las lúnulas.



    Dibuje las dos curvas de una lúnula.