martes, 5 de diciembre de 2017

Matemática básica con astronomía

Entreténgase un rato resolviendo las siguientes 10 preguntas.
En ellas tendrá la oportunidad de aplicar matemática básica o intermedia, de nivel preuniversitario, combinada
 con conceptos elementales de geografía y astronomía. 
A lo mejor no tiene que hacer ningún cálculo.
Solo lea la pregunta con cuidado, analice el planteamiento y los datos, use su intuición y un poco de lógica.
Se supone (si no he cometido algún error), que solo hay una respuesta 100 % correcta para cada pregunta.

1. Suponga que el ecuador terrestre es una circunferencia de cierto radio, que mide 40 075 km de longitud. Si se pudiera colocar una faja justamente a 1 kilómetro de altura encima del ecuador, ésta mediría aproximadamente

A. 40 150 km.
B. 40 087 km.
C. 40 081 km.
D. 40 078 km.

(El símbolo que se debe usar para kilómetros es km; no Km, ni Kmts)

2. El radio del planeta Júpiter es 11 veces el radio del planeta Tierra. Suponga una esfera hueca del radio de Júpiter, ¿cuantas Tierras cabrían dentro de esa esfera? (las puede deformar como si fueran de arcilla).
A. 114.
B. 113.
C. 112.
D. 11.

3. Si Júpiter y la Tierra se consideran esferas, usando los datos del problema anterior, la superficie de Júpiter respecto a la superficie de la Tierra es:
A. 11 veces.
B. 22 veces.
C. 33 veces.
D. 121 veces.

4. Cuando vemos un pequeño cachito brillante de Luna, también se puede observar el resto de la Luna débilmente iluminada (https://es.wikipedia.org/wiki/Luz_cenicienta). Si la luz del Sol tarda 8 min en llegar directamente a la Tierra, y de la Luna a la Tierra tarda 1 s, ¿en cuánto tiempo nos llega la luz de esa región menos iluminada, desde que salió del Sol?
A. 2 s.
B. 8 min y 1 s.
C. 8 min y 2 s.
D. 16 min y 1 s.

(Los símbolos que se deben usar para las unidades de medición “minutos” y “segundos” son respectivamente min y s).

5. Si sus ojos están a 2 m de altura sobre el nivel del mar, ¿a qué distancia aproximada de usted está el horizonte terrestre ? (https://es.wikipedia.org/wiki/Luz_cenicienta)
A. 100 km.
B. 50 km.
C. 15 km.
D. 5 km.

6. La gravedad en la Luna es 1/6 de la gravedad en la Tierra. Si su “masa” (cantidad de materia) en la Luna es 60 kg, su masa en la Tierra sería:
A. 360 kg.
B. 60 kg.
C. 10 kg.
D. 6 kg.

(el símbolo que se debe usar para la unidad de masa; el “kilogramo”, es kg, no Kg, ni kgr, tampoco kgrs).

7. La Tierra está en promedio a una unidad astronómica del Sol, unos 150 millones de kilómetros y tarda 1 año en dar una revolución alrededor de esta estrella. Suponga que hay un planeta que está a dos unidades astronómicas del Sol, entonces en esa órbita ese planeta daría una vuelta alrededor del Sol en:
A. 8,0 años.
B. 2,8 años.
C. 2,0 años.
D. 1,6 años.

8. La densidad de un cuerpo homogéneo es 5,51 g/cm3 (la densidad promedio de la Tierra). Entonces la densidad de la mitad del volumen de ese cuerpo es:
A. 11,02 g/cm3.
B. 5,51 g/cm3.
C. 2,76 g/cm3
C. 0,362 g/cm3.

9. Un cometa que viaja a cierta velocidad constante, recorre 1000 km en un
cierto tiempo. Otro cometa que viaja al doble de esa velocidad, recorre en la mitad de ese tiempo, una distancia de:
A. 1000 km.

B. 2000 km.
C. 500 km.
D. 250 km.

10. Para viajar a la estrella más cercana; “PróximaCentauri;
A. Tardaríamos 4,2 años luz
B. Se debe recorrer una distancia de 4,2 años.
C. Se debe recorrer una distancia de 1 260 000 km.
D. Tardaríamos 4,2 años.

Si requiere una aclaración sobre las preguntas, o conversar sobre las posibles respuestas, envíeme un comentario, o escriba a javillalobos@ice.co.cr

Respuestas aquí (comentarios) en una semana.

viernes, 24 de noviembre de 2017

Curiosidades matemáticas del orto del Sol

El orto del Sol ocurrió hace tres minutos
El cuadro que sigue abajo muestra la hora de orto del Sol (columnas 2 y 6), para ciertas fechas del año (columnas 1 y 5), junto con el respectivo acimut (3 y 7). Las horas del orto (salida por el horizonte oriental), se dan para la latitud promedio de Costa Rica (10° Norte).
También se muestra en la columna central (4) la declinación del Sol; a la izquierda para las fechas del 22/03 al 15/09, y a la derechas para el 22/09 al 15/03.
Fecha
Hora
(C.R.)
Acimut
Declinación
del Sol
Fecha
Hora
(C.R.)
Acimut
22/ mar
05:39
90° (Este)
+0:0°/ -0,0°
22/ set
05:25
90°
29
05:35
86°

29
05:25
92°
01/ abr
05:33
85°

01/ oct
05:24
93°
08
05:29
82°

08
05:24
93°
15
05:25
80°
+10°/
15
05:24
99°
22
05:22
77°

22
05:25
102
29
05:19
75°

29
05:26
104°
01/ may
05:19
74°

01/ nov
05:26
105°
08
05:16
72°

08
05:28
107°
15
05:15
70°

15
05:30
109°
22
05:14
69°
+10°/
22
05:33
110°
29
05:14
68°

29
05:36
112°
01/ jun
05:14
67°

01/ dic
05:37
112°
08
05:14
67°

08
05:41
113°
15
05:15
66°

15
05:45
113°
22
05:17
66°
+23,5°/ -23,5°
22
05:48
114°
29
05:18
66°

29
05:51
113°
01/ jul
05:19
66°

01/ ene
05:53
113°
08
05:21
67°

08
05:55
113°
15
05:22
68°

15
05:57
112°
22
05:24
70°

22
05:58
110°
29
05:25
71°

29
05:58
108°
01/ ago
05:26
72°

01/ feb
05:58
107°
08
05:21
74°

08
05:57
105°
15
05:22
76°

15
05:55
103°
22
05:24
78°

22
05:53
100°
29
05:25
81°

28
05:50
98°
01/ set
05:27
82°

01/ mar
05:50
97°
08
05:26
84°

08
05:47
95°
15
05:26
86°

15
05:43
92°

Antes de comentar las curiosidades matemáticas, recordemos algunas definiciones:
El orto del Sol es el instante en que el limbo superior del Sol aparece exactamente en el horizonte, en la mañana. Este instante depende de la latitud del observador y, desde luego, como se aprecia en el cuadro, de la fecha. 
Aclaro que en este caso no me refiero a todo el proceso de salida del disco solar, que puede tardar poco más de dos minutos.
La hora anotada, no es la hora que le mostraría un "reloj de sol", sin ajustes ni correcciones, sino la hora de su reloj, esto es, la hora oficial de Costa Rica (Tiempo Universal Coordinado - 6 horas).
Sin embargo, estas horas calculadas le serán de mucha utilidad si desea hacer sus propias mediciones con un reloj bien calibrado.

Entonces, aquí van algunas curiosidades, si usted encuentra otras, por favor envíeme un comentario.
  • Le cuento que durante mi época de escuela y colegio y quizás durante más tiempo, pensaba que el Sol salía a las 6:00, el mediodía es a las 12:00 y el ocaso a las 18:00. Es una suposición que parece aceptable, si no se analiza con conocimiento y lógica. Estimulada por la costumbre, textos escolares y hasta lemas con los que viví, como este de Radio Reloj: "...a la hora meridiana cuando el Sol está en el cenit..."
    Aclárele esto a sus hijos y nietos.
  • El orto más tempranero ocurre en las inmediaciones del 29 de mayo; 05:14. El acimut es 68°, esto es, del punto Este, corrido 22° hacia el Norte.
  • El orto más tardío ocurre 28 de enero; 05:58. El acimut es 110°, esto es, del punto Este corrido 20° hacia el Sur.
  • Entonces el Sol no siempre sale por el Este exacto, sino que dependiendo de la fecha, el orto está corrido hacia el Norte o hacia el Sur. Este concepto equivocado aún persiste en textos ecolares y en libros de cuentos para niños, un poco desactualizados.
  • Solo en los equinoccios el acimut del orto del Sol es 90°, exactamente al Este, una situación congruente con la declinación del Sol (¡cero grados!), pues está justamente cruzando el ecuador celeste.
    Las horas respectivas son 05:39 el 22 de marzo y 05:25 el 22 de setiembre.
  • En los solsticios el acimut es 66° el 22 de junio y 114° el 22 de diciembre, esto es corrido 24° hacia el Norte o hacia el Sur, congruente con la declinación del Sol (+ - 23,5°) en esas fechas.
    La hora del orto del Sol es 05:17 y 05:48, respectivamente.
  • En las dos pasadas cenitales, el 15 de abril y el 24 de agosto, el orto del Sol ocurre a las 05:25.
    El acimut es 80°, esto es, corrido 10° hacia el Norte, respecto al punto Este, congruente con la declinación del Sol a la feha y la latitud promedio de Costa Rica (10° Norte).
    Recuerde que en esa fecha el Sol culmina (cruza el meridiano del observador) con una altitud de 90° y  a esa hora un objeto vertical no proyecta sombra sobre una superficie horizontal.
    También que la culminación no ocurre a las 12:00, sino 24 minutos antes, ya que la longitud geográfica promedio de Costa Rica es 84° Oeste.
  • Como referencia para hacer comparaciones, le doy la fecha aproximada del ocaso más tempranero (15-16 de diciembre; 17:11) y el ocaso más tardío (11-12 de julio; 18:01). 
  • Finalmente, el día más largo y el día más corto del año, no tiene que coincidir con el orto más tempranero, ni con el ocaso más tardío.
    ¿Sabe en que fecha ocurre?
    http://fisica1011tutor.blogspot.com/2012/02/el-dia-mas-corto-no-coincide-con-el_21.html.
Referencias adicionales:
Ecuación
del tiempo: http://cienteccrastro.blogspot.com/2009/08/ecuacion-de-tiempo.html.

jueves, 5 de octubre de 2017

¿Cansado del viejo y conocido triángulo 3 – 4 – 5?

Encontré ayer un cuaderno de un curso de geometría, que tomé, a inicios de los años 60, con el profesor Bernardo Alfaro Sagot
https://www.geni.com/people/Bernardo-Alfaro/4586171467000064024 .  
Bernardo Alfaro Sagot

En ese entonces, sin calculadoras, sin computadoras, sin internet, don Bernardo no dio una lista de 18 tripletas de números que representaban los lados de triángulos pitagóricos (rectángulos), ¡disimiles!, cuyos lados eran números enteros menores que 100 (bueno menores que 109).

Como estábamos estudiando para profesores de física y matemática, don Bernardo no dijo que los usáramos para prácticas, tareas y exámenes, para no aburrir a nuestros estudiantes.
Recuerdo que en ese tiempo teníamos "tablas de logarítmos",  reglas de cálculo, y había sumadoras (y multiplicadoras) mecánicas, pero este tipo de cálculos (o comprobaciones) había que hacerlos “a mano”, con lápiz y papel.

Hoy me encontré un sitio en la internet: https://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3rica, que tiene todo esto … y mucho más, pero ya me lo habían enseñado en 1961 y lo usé varias veces cuando enseñé matemática en el Liceo Rodrigo Facio (1964 y 1965).

En 1962 me aplacé en Trigonometría, con don Fernando Chavarría (“Triangulito”) y quedé renco con las materias del año siguiente, así que decidí buscar un trabajo tiempo parcial. Supe de una vacante en dicho Liceo, me entrevisté con el asesor de esa materia, Manuel Francisco Castellón y me envió a conversar con la directora, Lía Gómez de Brenes, quien me asignó ocho lecciones interinas de matemática, a ¢22,50 cada una.

Bueno la lista de triángulos es la siguiente, por si usted también no quiere cansar a sus estudiantes:
5 -       4 –  3
Sumadora Facit.
13 –   12 –  5
17 –   15 –  8
25 –   24 -   7
29 –   21 – 20
37 –   35 – 12
41 –   40 –   9
53 –   45 – 28
Regla de cálculo.
61 –   60 – 11
65 –   56 – 33
65 –   65 – 16
73 –   55 – 48
85 –   77 – 36
85 –   84 – 13
89 –   80 – 39
97 –   72 – 65
101 – 99 – 20
109 – 91 – 60


martes, 24 de enero de 2017

Aritmética en Maya (George I. Sánchez 1961)

En 1966, cuando vivía en Austin Texas, mientras realizaba estudios para obtener mi Maestría en Física, en “The University of Texas at Austin”, el director de mi tesis, Dr. Robert N. Little Jr., me obsequió una copia del libro “Arithmetic in Maya”.
Lo había escrito y editado en 1961, hace 56 años, un amigo de R.N.L., el profesor de UT George I. Sánchez.
(https://en.wikipedia.org/wiki/George_I._S%C3%A1nchez).
Aún conservo ese libro y r
ecientemente vi que Amazon lo ofrece a la venta (10 veces el precio de 1966). 
Quizás usted pueda encontrar algunas copias para leerlo en bibliotecas de Texas o de New México. Si a algún lector le interesa, podría intentar hacerle una copia en PDF.
El libro lo leí en una semana y esto inició mi aprendizaje sobre el sistema de numeración Maya, y mi aprecio sobre dicha cultura. Además adquirí el gusto por la difusión y popularización de la ciencia.

Como sabemos el sistema de numeración Maya usa base 20, con una curiosa desviación para adaptarlo al calendario (http://fisica1011tutor.blogspot.com/2012/04/una-curiosidad-del-sistema-de.html).    



En realidad lo que me interesa en esta entrada, es destacar que ya en 1961 (¡hace 56 años!) existía una publicación que, nos explicaba la manera de hacer aritmética (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) de acuerdo con el sistema de numeración usado por los pueblos Mayas. Escrita, editada y publicada, posiblemente con fondos propios, por un profesional fuertemente dedicado a la difusión de la cultura.
Porque ahora en la Internet se encuentran varias publicaciones, pero algo recientes, y hasta una tesis universitaria, eso sí, mucho más completas.