martes, 23 de agosto de 2016

Mi anécdota de la elipse

En mis clases de Astronomía, he solicitado varias veces a los participantes (incluyendo a docentes), que dibujen una elipse.
La última vez fue en el taller “La órbita de la Tierra”, realizado en Santiago de Veraguas, Panamá (http://astronomia10norte.blogspot.com/2016/05/la-orbita-de-la-tierra-taller.html). 
Desde luego espero un diagrama de calidad, como el que usted podría hacer para una circunferencia, usando un compás. O también un chinche, una cuerda y un lápiz.
Como generalmente no se encuentra un participante que pueda dibujar la elipse, y un buen porcentaje de ellos no tiene idea clara de las características de esta figura, entonces abordo la situación de la siguiente manera:


  • Entrego a equipos de participantes lo siguiente: una hoja de papel, un cartón corrugado, dos chinches, un lazo de hilo fino pero resistente de 6 cm de perímetro (prepararlo con tiempo) y un lápiz. Les pido entonces que dibujen una circunferencia.
    Bueno la circunferencia la hacen (!algunos!) sin mucho problema.
  • Luego de comentar sobre el método de trazado y sobre la geometría de la elipse, les pido que la dibujen. Pero, salvo raras excepciones, la imposibilidad continúa.
    Es curioso, la elipse no parece estar en el plan de estudios de Geometría en el Colegio, y menos en la Escuela, aunque ya Euclides la conocía 250 años antes de Cristo y Kepler la usó en 1610 para sus órbitas planetarias.
  • Entonces tras una nueva explicación con un ejemplo, logran hacerlo.
    Por lo general les pido que con una regla marquen una recta por media página, que cerca del centro marquen dos puntos separados 2 cm, que coloquen allí los chinches. Que tensen el lazo entre los chinches y la punta del lápiz y procedan a dibujar la elipse, como se ve en la figura.
  • Me sorprendió también la poca habilidad para trazar la perpendicular a una recta (a pesar de que algunos tenían reglas anchas y aún escuadras). Una buena mayoría lo hizo "al ojo" y no les preocupó la evidente imprecisión de sus resultados
Si el trabajo se hace bien, resulta una elipse con semieje mayor de 2 cm (puede comprobarlo visualmente y medirlo), con semieje menor de √3 cm (calculado mediante el teorema de Pitágoras).

Calcular la distancia focal, la excentricidad y el perímetro de la elipse, desde luego caen fuera de este nivel de matemática preuniversitaria, pero si usted desea hacerlo, puede encontrar asesoría en alguno de los vínculos que se dan al final.

Bueno, aquí está mi anécdota:

  • Tengo un terreno plano en El Roble de Santa Bárbara de Heredia, desde donde hago observaciones astronómicas y se me ocurrió un día marcar en él una elipse.
    Le pedí entonces a la persona que corta el césped que me ayudara a marcar una elipse, pero no le dije cómo sería el resultado final.
    Me consiguió dos estacas  que clavamos separadas entre sí 2 m, una cuerda con la que hicimos un lazo de 6 m de perímetro y una macana que haría las veces de lápiz.

    Mi acompañante se hizo a un lado y decidió no ayudarme más.
    Yo tensé el lazo y cuidadosamente procedí a hacer hendiduras en el zacate hasta completar la elipse.
    El me miraba con asombro, como diciendo: ¿que está haciendo?, !no le va a salir bien!, ¿no sabe que así no se marca una rueda?

    A veces se reía cuando yo verificaba que las estacas permanecieran en su lugar y el lazo tenso.

    Finalmente, luego de dos pasadas y cuando la elipse ya se notaba bien, con una sonrisa burlona me dijo:
    “Tanto mate y no le quedó redonda”.
Aún no me he atrevido a darle una explicación, prefiero por ahora, dejarlo con su alegre y triunfal semblante.
La órbita de la Tierra,  2016. (IMCCE).

jueves, 11 de agosto de 2016

La conjetura de Collatz

También me la encontré en “El libro de las MΛTΣMÁTICAS”, página 374, luego de que P. Cisneros me remitiera este vínculo: http://www.bbc.com/mundo/noticias-36651490, con un artículo ilustrado con el fractal que coloqué aquí de último.
Esta es la Conjetura de Collatz:



Escoja un número natural cualquiera; N= {1, 2, 3, 4,…}
Si el número es par, lo divide por 2.
Si el número es impar, lo multiplica por 3 y le suma 1.
Continúa aplicando las mismas reglas al resultado.

Puede utilizarla para divertirse un rato con una secuencia particular de números naturales, que puede crecer, decrecer, subir y bajar, pero finalmente llega a 4, 2, 1.
Por tales motivos también se le llama “secuencia de Collatz”, “números de granizo” y “secuencia 3n +1”, entre otros.

Es una “conjetura”, porque a pesar de que representa un problema bastante simple, no se ha podido hasta ahora, realizar una demostración formal, esto es probar que es correcta, o incorrecta, ni encontrar un número natural que no satisfaga el resultado.

Esta es una secuencia corta: 7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1

Para hacer sus ensayos entretenidos, haga las cuentas mentalmente, use papel y lápiz, o una calculadora, eso sí tenga cuidado de no salirse de las reglas, pues se sale de la secuencia. 
¡Pruebe con el número 27!

¿Está pensado en usar enteros negativos?
Adelante, seguro no encontrará nada que no se conozca, pero será entretenido; ¡divida por -2, reste en vez de sumar, etc.!

Este problema fue presentado por el matemático alemán Lothar Collatz en 1937.

En las referencias encuentra sitios donde hay gráficos de una secuencia particular, inclusive puede escuchar las notas musicales que produce, en el instrumento de su elección (https://oeis.org/play?seq=A006577).